Toán học - Bài tập bất đẳng thức

1

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC A)Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:        

3 3 3 a b a b 2 2

2. Chứng minh:   

2 2 a b a b 2 2

3. Cho a + b  0 chứng minh:   

3 3 3 a b a b 2 2

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:    a b a b b a

5. Chứng minh: Với a  b  1:      2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b

6. Chứng minh: ; a , b , c  R         2 2 2 a b c 3 2 a b c

7. Chứng minh:           2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e

8. Chứng minh:      2 2 2 x y z xy yz zx

9. Chứng minh:       a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3

10. Chứng minh:          

2 2 2 2 a b c a b c 3 3

11. Chứng minh:      2

2 2 a b c ab ac 2bc 4

12. Chứng minh:      2 2 a b 1 ab a b

13. Chứng minh:      2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz

14. Chứng minh:        4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1)

15. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì:   3 3 1 a b 4 16. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 B)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 17. Chứng minh:      (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0

18. Chứng minh:       2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

19. Chứng minh: với a , b , c  0          

3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc

ThuVienDeThi.com

2

20. Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m  Z+                 

m m

m 1 a b 1 1 2 b a

21. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c

22. Chứng minh:     6 9

2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4

23. Chứng minh: .    

4 2 2 1 2a 3a 1 1 a

24. Chứng minh: , a > 0     2016 a 2016 a 1

9. Chứng minh: .             2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc

10. Cho a , b, c > 0. Chứng minh:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b  1 , chứng minh: .     ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: .       3 a 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

c)                 1 1 1 1 1 1 64 a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:     

1 x 3 x y y 16. Chứng minh:

a) ,x  R b) , x > 1 c)   

2

2 x 2 2 x 1

  

x 8 6 x 1

  

2

2 a 5 4 a 1

17. Chứng minh:          ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2

18. Chứng minh: , x , y  R    

2 2

4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y

19. Chứng minh: ; a , b , c > 0       a b c 3 b c a c a b 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m:

         3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)     4 a b c d 4 abcd

ThuVienDeThi.com

3

b. với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )    3 a b c 3 abc

22. Chứng minh: ; a , b , c > 0      3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab

23. Chứng minh:    3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc

24. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN.   x 18 y 2 x

25. Cho . Định x để y đạt GTNN.     x 2 y ,x 1 2 x 1

26. Cho . Định x để y đạt GTNN.     3x 1 y , x 1 2 x 1

27. Cho . Định x để y đạt GTNN.     x 5 1 y ,x 3 2x 1 2

28. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.   

x 5 y 1 x x

29. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.  

3

2 x 1 y

x

30. Tìm GTNN của , x > 0.   

2 x 4x 4 f(x) x

31. Tìm GTNN của , x > 0.   2

3 2 f(x) x

x 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  . Định x để y đạt GTLN 5 2

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN    5 x 5 2

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,  x  . Định x để y đạt GTLN 1

2

5 2

37. Cho . Định x để y đạt GTLN 

 2

x y

x 2

38. Cho . Định x để y đạt GTLN   



2

3 2

x y

x 2

C)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT …