Xem trước nội dung
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
04. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = B A B A x x y y 2 2 ( ) ( ) − + −
2) Khoảng cách từ điểm M x y 0 0 ( ; ) đến đường thẳng ∆: ax by c 0 + + = : ax by c d M d a b
0 0
2 2 ( , ) + + = +
Đặc biệt: + Nếu ∆: x a = thì d M x a 0 ( , ) ∆= −
+ Nếu ∆: y b = thì d M y b 0 ( , ) ∆= −
+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x y 0 0 + .
3) Diện tích tam giác ABC: S = ( ) AB AC A AB AC AB AC
2 2 2 1 1 . .sin . . 2 2 = −
4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ IA IB 0 + =
⇔ A B I
A B I
x x x y y y 2 2 + = + =
5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ AB I
∆ ∆ ⊥ ∈ (I là trung điểm AB).
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
B A
x x y y = = −
+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
B A
x x y y = = −
6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈ ∆ và một điểm N ∈ (C). 7) Điểm M x y ( ; ) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x y , đều là số nguyên.
Ví dụ 1: Cho hàm số y x x 3 3 2 = − + + (C). Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). Hướng dẫn giải: Gọi ( ) A x y 0 0 ; , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3) − ( ) B x y 0 0 2 ;6 ⇒ −− −
A B C , ( ) ∈ ⇔ y x x
y x x
3 0 0 0 3 0 0 0
3 2
6 ( 2 ) 3( 2 ) 2
= − + + − = −−− + −− +
( ) ( ) x x x x x x 3 3 2 0 0 0 0 0 0 6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0 ⇔ = − + + −−− + −− + ⇔ + + = ⇔ x y 0 0 1 0 = −⇒ =
Vậy 2 điểm cần tìm là: ( 1;0) − và ( 1;6) −
Ví dụ 2: Cho hàm số x y x x 3 2 11 3 3 3 = − + + − .
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Hướng dẫn giải:
Hai điểm M x y N x y C 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) ( ) ∈ đối xứng nhau qua Oy ⇔ x x y y
2 1
1 2
0 = − ≠ =
⇔
x x
x x x x x x 2
2 1 3 3 2 3 1 2 1 1 2
0
11 11 3 3 3 3 3 3
= − ≠
− + + − = − + + −
⇔ x x
1
2
3
3
= = − hoặc x x
1
2
3 3
= − =
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M N 16 16 3; , 3; 3 3 − .
ThuVienDeThi.com
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
Ví dụ 3: Cho hàm số y x x 3 3 2 = − + + (C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x y 2 2 0 − + = . Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) M x y N x y 1 1 2 2 ; ; ; thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
I là trung điểm của AB nên x x y y I 1 2 1 2 ; 2 2
+ +
, ta có I d ∈
Ta có ( ) ( ) x x x x y y x x 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2
2. 2 2 2 2
− + + + − + + + + = = +
( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x
3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
0 3 3 2 1
+ = ⇒− + + + + + = + ⇒ − + =
Mặt khác: ( ) ( ) MN d x x y y 2 1 2 1 .1 .2 0 ⊥ ⇒ − + − =
( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
7 7 2 0 2 ⇒ − − − + + = ⇒ + + =
- Xét x x 1 2 0 + = x x 1 2 7 7 ; 2 2 ⇒ = ± = ∓
- Xét
x x x x x x
x x x x x x
2 2 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2
9 1 4 7 5 2 4
+ = − + = ⇔ ⇒ + + = =
vô nghiệm
Vậy 2 điểm cần tìm là: 7 1 7 7 1 7 ;2 ; ;2 2 2 2 2 2 2
− − +
Ví dụ 4: Cho hàm số y x x x 3 2 1 5 3 3 3 = + − + .
Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox. Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: x x x x x 3 2 1 5 1 3 0 5 3 3 = + − + = ⇔ = −
⇒ A B ( 5;0), (1;0) − . Gọi M a a a a C M A B 3 2 1 5 ; 3 ( ), , 3 3 + − + ∈ ≠
⇒ AM a a a a 3 2 1 5 5; 3 3 3 = + + − +
, BM a a a a 3 2 1 5 1; 3 3 3 = − + − +
AM BM AM BM . 0 ⊥ ⇔ =
⇔ a a a a 2 4 1 ( 5)( 1) ( 5) ( 1) 0 9 + − + + − =
⇔ a a 3 1 1 ( 1) ( 5) 0 9 + − + = ⇔ a a a a 4 3 2 2 12 14 4 0 (*) + − + + =
Đặt y a a a …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
