Toán học - Chương III Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng-Phương trình tham số của đường thẳng 1/ Véctơ chỉ phương của đường thẳng

ĐN: Vectơ được gọi là vectô chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d nếu và giá của song song u

r

0 u 

r r

u

r

hoặc trùng với d.

NX: + Vectơ k cũng là vtcp của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtvp. u

r

 + Một đường thẳng được xđ nếu biết vtcp và moät điểm trên đường thẳng đó. d

2/ Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có véctơ chỉ phương =(u1;u2) là: u

r

( t: là tham số) 0 1

0 2

x x u t

y y u t

       Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong trường hợp sau:

d đi qua M(2;1) và có vtcp =(3;4) u

r

3/ Hệ số góc của đường thẳng

+ Đường thẳng d có véctơ chỉ phương =(u1;u2), u10. Khi đó hệ số góc k là: k = u

r

2

1

u

u + Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là:

yy0 = k(xx0) Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3;5) và B(6;2). Tìm hệ số góc của đường thẳng?

Giải

Ta có vtcp là . (3; 3) AB   uuur

Vậy phương trình tham số của d đi qua A, B có vtcp là: (3; 3) AB   uuur 3 3 5 3 x t y t        Hệ số góc k=3/3  k= 1

* Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có một véctơ chỉ phương là =(1;k) u

r

4/ Phương trình chính tắc của đường thẳng (10NC)

+ Nếu u10, u20 thì phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

0 0

1 2

x - x y - y = u u +Nếu u1=0 hoặc u2=0 thì đường thẳng không có phương trình chí tắc.

( Nhưng , với quy ước xx0=0 thì pt này gọi là pt chính tắc của d) 0 0

2 0 u x x y y   

II/Véctơ pháp tuyến của đường thẳng, Phương trình tổng quát của đường thẳng 1/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng (pháp véctơ)

ur

ThuVienDeThi.com

ĐN: Vectơ được gọi là vectô pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d nếu và giá của n r

0 n  r r

n r

nằm trên đường vuông góc với d ( d). n r

NX: + Vectơ k cũng là vtpt của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtpt. n r

 + Một đường thẳng được xđ nếu biết vtpt và moät điểm trên đường thẳng đó. 2/ Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b20)

d có véctơ pháp tuyến là =(a;b) n r

* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M0(x0,y0) có vtpt =(a;b) là: n r

a(xx0)+b(yy0)= 0 * Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là:

Ta tìm VTCP  VT pháp tuyến  pttq đia qua A và có vtpt AB uuur

n r

n r

* Nhận xét: Tọa độ của hai véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của một đường thẳng là đổi chỗ cho nhau và đổi dấu ở một vị trí (hoành độ hoặc tung độ)

Nếu đường thẳng d có vtpt là =(a ; b) thì d có vtcp là =(b ; a) hoặc =(b ; a) n r

u

r

u

r

Ví dụ: =(5;1) thì =(1; 5) hoặc =(1; 5) n r

u

r

u

r

=(4;6) thì =(6;4) hoặc =(6;4) u

r

n r

n r

(Vì là vtcp thì k cũng là vtcp, vtpt thì k cũng là vtpt) u

r

u

r

n r

n r

Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết

a) d đi qua M(2;3) và có vtpt =(5;1). Đáp số: 5x+y+7= 0 n r

b) d đi qua M(2;4) và có hệ số góc k=2. Đáp số: 2xy=0 c) d đi qua hai điểm A(3;5), B(6;2). Đáp số: x+y8=0 * Cách chuyển từ pt tổng quát sang pt tham số: Đặt x= t, từ pt tổng quát  y theo t * Cách chuyển từ pt tham số sang pt tổng quát Từ pt của x t= , thế t vào y  pt tổng quát.

Ví dụ 1: Cho d có pt tham số là , tìm pt tổng quát của d? 2 3 1 4 x t y t       Đáp số: 4x3y5= 0 Ví dụ 2: Cho d có pt tổng quát là : x+y8=0. Tìm pt tham số của đường thẳng?

Đáp số: 8 x t y t       * Các dạng đặc biệt: + Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox. + Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy. + Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ.

+ Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình (a0, b0) gọi là phương trình đường 1 x y a b  

thẳng theo đoạn chắn.

3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát

1 1 1 1 2 2 2 2 : a 0; : a 0 x b y c x b y c        

ThuVienDeThi.com