Toán học - Bài tập vectơ

Phạm Viết Sĩ

- 1 -

Đại cương về vectơ 1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành 2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh OK = IH 3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng : DM = MN = NB 4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB Chứng minh rằng GE = 0 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1 điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF |

Các phép toán vectơ 1.Rút gọn các biểu thức sau: a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD b) + – + + + AB MN CB PQ CA NM c) + + – + – + KM DF AC KF CD AP MP 2. Chứng minh rằng a) + = + AB CD AD CB b) + = + AC BD AD BC c) + + = + AB CD EA ED CB d) + + = + + = + + AD BE CF AE BF CD AF BD CE e) + + + = + + AB CD EF GA CB ED GF 3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng :

+ = + MA MC MB MD 4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ ,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + = RJ IQ PS 0 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng + + + AE AF AN MN 6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + , AB BC

+ , – AB AC AB BC 7.Cho hai vectơ và  .Tìm điều kiện của và để: a b 0 a b a) = + b) = a + b a b a + b a – b 8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + OA OB nằm trên đường phân giác của góc AOB 9. Chứng minh rằng : =  trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC AB CD trùng nhau 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng : a) + = + OA OC OB OD b) = + BD ME FN 11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho:

= + ; = + ; = + OM OA OB ON OB OC OP OC OA b)Chứng minh rằng + + = OA OB OC 0 12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : + + = + + OA OB OC OA' OB' OC' 13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn. Chứng minh rằng : + +...+ = A1B1 A2B2 AnBn 0 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD a)Chứng minh rằng + = 2 AB CD IJ b)Xác định điểm M sao cho + + 2 = MA MB MC 0 c)Xác định điểm N sao cho + + + = NA NB NC ND 0 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn:

= MA + MB MA – MB 17.Cho tam giác ABC a)Xác định điểm I sao cho : + 2 = IA IB 0 b)Xác định điểm K sao cho : + 2 = KA KB CB 18.Cho tam giác ABC

ThuVienDeThi.com