Toán học - Hàm số mũ và logarit

HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Công thức cơ bản hàm số mũ

a0 = 1; 1a = 1; a–m = ; (am)ⁿ = am.n; m 1 a

n n m m a a 

Các công thức cùng cơ số

am.an = am+n; = am–n.

m

n a

a Các công thức khác cơ số

am.bm = (ab)m; ;

m

m m a a ( ) b b  m m a b ( ) ( ) b a

 

Bài tập 1: Đơn giản biểu thức (giả thiết tất cả đều có nghĩa)

a. A =

2 4 3 3 4 2 2

2 2 3 1 x x y xy y 3y(x y ) [ ] .(x 2xy y ) x y x (x y)



         

b. B = ( )(a2n – b2n)

n n n n

n n n n a b a b a b a b

   

        

c. C =

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 xa ax a x a x ( ) 4 a x a x

     

           Bài tập 2: Cho a, b là hai số dương. Rút gọn các biểu thức

a. A = b. B = c. C = 2 a a (1 2 ).( a b) b b

   

1 9 1 3 4 4 2 2

1 5 1 1 4 4 2 2

a a b b

a a b b



     

2 2 3 3 3 3 3 ( a b)(a b ab)   

d. D = e. E =

1 1

1 3 3 3 3 a b (a b ).(2 ) b a

   

3 1 1 3

2 2 4 4 3 3 a b a [( ) ( ) ]:(a b ) b a a b  

f. F = g. G =

2

2

2

a 4

a 4 a ( ) 4 2a



 

4 1

2 3 3

1 3 3 2 2 3 3 3

a 8a b b (1 2 ) a a a 2 ab 4b

     

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức

a. A = với x =

2 2

1 2 2 2 1 x x 1 x x ( 2 ) (5 2x ) 2x x 2x x

          3,92

b. B = với y = 1,2

3 3

5 2

2 2 5 10

5 2 27y [( 3 32y 2).3 ] 2 3 y

     Bài tập 4: Rút gọn biểu thức

a. A = b. B =

5 1 3 7 1 1 1 3 3 2 4 4 2 2 {[(3 .5 ) : 2 ]:[16:(5 .2 .3 )]}  3 4 0,25 3 2 9 0,5 625 ( ) 19.( 3) 4

      

Bài tập 5: Chứng minh 3 3 3 3 2 4 2 2 4 2 2 2 3 a a b b b a ( a b )     

Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P = 3 3 847 847 6 6 27 27   

Bài tập 7: Chứng minh: 8 4 8 4 8 8

1 ( 3 2)( 3 2)( 3 2) 3 2

     Bài tập 8: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức

a. A = b. B = (a > 0) c. C = (ab ≠ 0) 5 3 2 2 2

11 16 a a a a :a 5 3 b a a b Bài tập 9: Rút gọn

a. A = b. B = c. C = + 1 π 2 4π 4 a . a :a

3 2 3 3 6 (a ) . a

2 2 2 3

2 3 2 a b

(a b )





ThuVienDeThi.com

d. D = e. E =

2 3 2 3 3 3 3

4 3 3 (a 1)(a a a )

a a

  



5 7

2 5 5 7 2 7 3 3 3 3

a b

a a b b



  HÀM SỐ MŨ Hàm số mũ có dạng y = ax (với 0 < a ≠ 1) Tập XÁC ĐỊNH: D = R Đạo hàm y’ = axln a Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R Giới Hạn: = 0 nếu a > 1 và = 0 nếu 0 < a < 1. x

xlim a



x

xlim a

 Hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang Giá trị đặc biệt: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = a y = ax luôn dương với mọi x

Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y = . Từ đó so sánh 2³ – 2–3 và 2² – 2–2.

x x 2 2 2

 

Bài tập 2: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến

a. y = b. y = c. y = 5. x π ( ) 3

x 3 ( ) 3 2 

x x 1 3 ( ) 3 2



 SO SÁNH CÁC SỐ MŨ 1. Nếu a > 1: am > aⁿ <=> m > n 2. Nếu 0 < a < 1: am > aⁿ <=> m < n 3. Nếu 0 < a < b: aⁿ < bⁿ <=> n > 0 4. Nếu 0 < a < b: aⁿ > bⁿ <=> n < 0 Nếu so sánh hai căn không cùng bậc, thì đưa hai số về cùng bậc rồi so sánh. Bài tập 1: So sánh các cặp số sau

a. và b. và c. và d. và 2

5 6 0,7

1 3 0,7 17 3 28 3 1 ( ) 3

2 1 ( ) 3

20 30 2 3 

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau

a. y = 3. b. y = 0,51–sin 2x c. y = x 2 x 3 2 x

1 x e  BÀI TẬP LOGARIT Định nghĩa: Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) xác định khi x > 0 loga x = b <=> x = ab. (b được gọi là logarit cơ số a của x) Chú ý: Khi cơ số a = e thì loge = ln x được gọi là logarit tự nhiên. Khi cơ số a = 10 thì log10 x = log x = lg x được gọi là logarit thập phân. Các công thức logarit: với 0 < a ≠ 1; 0 < b ≠ 1; x > 0; y > 0

loga 1 = 0; loga a = 1; loga xα = αloga x; ; = x β a a

1 log x log x β  a log x a

loga (xy) = loga x + loga y

loga ( ) = loga x – loga y x y

logb x = hay loga b logb x = loga x a

a

log x log b

loga x =

x

1 log a Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số

a. y = b. y = c. y = 1 2

x 1 log x 5  

2

1 5 5

x 1 log (log ) x 3  

2

x 3 log x 1 



d. y = lg (–x² + 3x + 4) + e. y = 2

1

x x 6  

x 1 log 2x 3 

 Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức

ThuVienDeThi.com