Toán học - Phương trình bậc hai

1

§ 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .

1 . Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình dạng : ax2 + bx + c = 0 ( a 0) 2. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0

 Tính :  = b2 – 4ac .  Nếu :  < 0 , phương trình vô nghiệm .

 Nếu :  = 0 , phương trình có nghiệm kép : . 1 2

b x x 2a 

 Nếu :  > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt :

; 1

b x 2a   2

b x 2a  

Chú ý:  Khi b là số chẵn ta có thể giải: / = b/2 – ac và * Nếu : / < 0 , phương trình vô nghiệm .

* Nếu : / = 0 , phương trình có nghiệm kép : .

/

1 2

b x x a 

* Nếu : / > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt :

;

/ /

1

b x a  

/ /

2

b x a  

 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = . c a

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = –1và x2 = – . c a  Nếu ax2 + bx + c = 0 (1) có nghiệm x1, x2 . thì (1) a(x – x1)(x – x2) = 0  Lưu ý : Nếu a có chứa tham số thì xét a = 0.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : (m –1)x2 – 2mx + m – 1 = 0

Hướng dẫn giải  Xét m – 1 = 0 m = 1, phương trình trở thành –2x = 0 x = 0.    Khi m  1, ta có / = 2m – 1.

– Nếu 2m – 1 = 0 , phương trình có nghiệm kép  1 m 2  1 2 x x 1 

– Nếu 2m – 1 > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt  1 m 2 

, 1

m 2m 1 x m 1   

2

m 2m 1 x m 1   

– Nếu 2m – 1 < 0 , phương trình vô nghiệm  1 m 2 

Vậy : Nếu m = 1 phương trình có một nghiệm x = 0.

Nếu , phương trình có nghiệm kép 1 m 2  1 2 x x 1 

Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 m 1 2 

ThuVienDeThi.com

2

, 1

m 2m 1 x m 1   

2

m 2m 1 x m 1   

Nếu , phương trình vô nghiệm. 1 m 2 

Ví dụ 2 . Giải và biện luận phương trình : mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (1) .

Hướng dẫn giải

 Nếu m = 0

(1)  4x – 3 = 0  x = . 3 4  Nếu m  0 . Ta có : / = (m – 2)2 – (m – 3)m = – m + 4 .  Nếu – m + 4 < 0  m > 4 thì / < 0 : phương trình vô nghiệm .  Nếu – m + 4 = 0  m = 4 thì / = 0 :

phương trình có nghiệm kép : . 1 2

m 2 4 2 1 x x m 4 2  

 Nếu – m + 4 > 0  m < 4 thì / > 0 : phương trình phương trình có hai nghiệm

phân biêt: ; (*) 1

m 2 4 m x m   1

m 2 4 m x m  

 Kết luận :

Nếu m = 0 , phương trình có một nghiệm duy nhất : x = . 3 4 Nếu m > 4 , phương trình vô nghiệm . Nếu 0  m < 4 , phương trình có hai nghiệm phân biệt ( *)

Bài tập tương tự. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x2 – 2(m – 1)x + m2 + 2 = 0 c) mx2 + 2(m +1)x + m – 2 = 0 b) (m – 1)x2 + 4mx + 4m + 1 = 0 d) (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m – 3 = 0

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tìm điều kiện để phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1)

 Có hai nghiệm phân biệt 

  

 



0 0 a

 Có nghiệm kép 

  

 



0 0 a

 Có nghiệm  hoặc a 0

0    

a 0 b 0    

 Vô nghiệm  hoặc a 0

0    

a b 0 c 0    

ThuVienDeThi.com

3

Ví dụ 1. Tìm m để phương trình : mx2 –2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)

a) Có nghiệm . b) Có hai nghiệm phân biệt . c) Có nghiệm kép . d) Vô nghiệm .

Hướng dẫn giải

a) Nếu m = 0 ta có : (1)  –4x + 1 = 0  x = . ( m = 0 thoả) 1 4 Khi m  0 thì để phương trình có nghiệm khi :

/  0  (m + 2)2 – m(m + 1)  0  3m + 4  0  m  – . 4 3

Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là : m  – . 4 3 b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

2

m 0 m 0 a 0 m 0

4 0 3m 4 0 m (m 2) m(m 1) 0 3

               c) Phương trình có nghiệm kép khi :

2

m 0 m 0 a 0 m 0 4 m 4 0 3m 4 0 3 m (m 2) m(m 1) 0 3

              

d) Nếu m = 0 ta có : (1)  –4x + 1 = 0  x = . ( m = 0 loại) 1 4 Khi m  0 thì để phương trình vô nghiệm khi :

/ < 0  (m + 2)2 – m(m + 1) < 0  3m + 4 < 0  m < . 4 3 

Vậy điều kiện để phương trình vô nghiệm là : m < . 4 3 

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x +m +2 = 0 Có nghiệm kép . Tìm nghiệm kép đó.

Hướng dẫn giải Để phương trình có nghiệm kép thì :

/ 2 2 2 a 0 m 2 0 m 2

0 (3m 2) (m 2) 0 8m 16m 0

     

m 2 m 2 m 0 m 0 8m(m 2) 0 m 2 m …