Toán học - Bài tập phương trình vi phân

1

B`AI TˆA. P PHU.O.NG TR`INH VI PHˆAN

1) Gia'i phu.o.ng tr nh: 2xy′y” = y′2 −1

HD gia’i: D- a. t y′ = p : 2xpp′ = p2 −1

V o.i x(p2 −1) ̸= 0 ta co : 2pdp p2 −1 = dx

x ⇔p2 −1 = C1 ⇔p = ±√C1x + 1

p = dy

dx = √C1 + 1 ⇒y = 2 3C1 (C1x + 1) 3 2 + C2

2) Gia'i phu.o.ng tr nh: √y.y” = y′

HD gia’i: D- a. t y′ = p ⇒y” = pdp

dy (ha m theo y). Phu.o.ng tr nh tro.' tha nh: √ypdp

dy = p

V o.i p ̸= 0 ta d u.o.. c phu.o.ng tr nh: dp = dy √y ⇒p = 2√y + C1 ⇔dy

dx = 2√y + C1 ⇒

dx = dy 2√y + C1

T u. d o nghi^e.m t^o'ng qua t: x = √y −C1

2 ln |2√y + C1| + C2 Ngoa i ra y = c: h a ng cu~ng la nghi^e.m.

3) Gia'i phu.o.ng tr nh: a(xy′ + 2y) = xyy′

HD gia’i: a(xy′ + 2y) = xyy′ ⇒x(a −y)y′ = −2ay

N^e u y ̸= 0, ta co phu.o.ng tr nh tu.o.ng d u.o.ng v o.i a −y

y dy = −2a

x dx ⇔x2ayae−y = C

Ngoa i ra y = 0 cu~ng la nghi^e.m.

4) Gia'i phu.o.ng tr nh: y” = y′ey

HD gia’i: D- a. t y′ = p ⇒y” = pdp

dy thay va o phu.o.ng tr nh: pdp

dy = pey

V o.ip ̸= 0 : dp

dy = ey ⇔p = ey + C1 ⇒dy

dx = ey + C1 ⇔ dy ey + C1 = dx

V o.i C1 ̸= 0 ta co : R dy ey + C1 = 1 C1

R ey + C1 −ey

ey + 1 dy = 1 C1 (y − R eydy ey + C1 ) = y C1 −

1 C1 ln(ey + C1)

nhu. v^a. y: R dx ey + C1 =

 



−e−y nˆe´u C1 = 0 1 C1 (y −ln |ey + C1|) nˆe´u C1 ̸= 0.

Ngoa i ra y = C : h a ng la m^o. t nghi^e.m

5) Gia'i phu.o.ng tr nh: xy′ = y(1 + ln y −ln x) v o.i y(1) = e

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

2

HD gia’i: D- u.a phu.o.ng tr nh v^e : y′ = y

x(1 + ln y

x), d a. t y = zx d u.o.. c: xz′ = z ln z

• z ln z ̸= 0 ⇒ dz z ln z = dx

x ⇒ln z = Cx hay ln y

x = Cx ⇔y = xeCx

y(1) = e →C = 1. V^a. y y = xex

6) Gia'i phu.o.ng tr nh: y”(1 + y) = y′2 + y′

HD gia’i: D- a. t y′ = z(y) ⇒z′ = z dz

dy thay va o phu.o.ng tr nh: dz z + 1 = dy y + 1

⇒z + 1 = C1(y + 1) ⇒z = C1y + C1 −1 ⇔ dy C1y + C1 −1 = dx (∗)

• C1 = 0 ⇒(∗) cho y = C −x

• C1 ̸= 0 ⇒(∗) cho 1 C1 ln |C1y + C1 −1| = x + C2 Ngoa i ra y = C la nghi^e.m.

To m la.i nghi^e.m t^o'ng qua t: y = C, y = C −x; 1

C1 ln |C1y + C1 −1| = x + C2

7) Gia'i phu.o.ng tr nh: y′ = y2 −2

x2

HD gia’i: Bi^e n d ^o'i (3) v^e da.ng: x2y′ = (xy)2 −2 (∗) D- a. t z = xy ⇒z′ = y + xy′ thay va o (∗) suy ra:

xz′ = z2 + z −2 ⇔ dz z2 + z −2 = dx

x ⇔ 3 r

z −1 z + x = Cx

V^a. y TPTQ: xy −1

xy + 2 = Cx3.

8) Gia'i phu.o.ng tr nh: yy” + y′2 = 1

HD gia’i: D- a. t y′ = z(y) ⇒y” = z.dz

dy

Bi^e n d ^o'i phu.o.ng tr nh v^e : z 1 −z2dz = dy

y ⇔z2 = 1 + C1

y2

⇒dy

dx = ± r

1 + C1

y2 ⇔± R dy r

1 + C1

y2

= dx ⇒y2 + C1 = (x + C2)2

Nghi^e.m t^o'ng qua t: y2 + C1 = (x + C2)2

9) Gia'i phu.o.ng tr nh: 2x(1 + x)y′ −(3x + 4)y + 2x√1 + x = 0

HD gia’i: y′ − 3x + 4 2x(x + 1).y = − 1 √x + 1; x ̸= 0, x ̸= −1

Nghi^e.m t^o'ng qua t cu'a phu.o.ng tr nh thu^a n nh^a t: R dy

y = R 3x + 4 2x(x + 1)dx = R (2

x − 1 2(x + 1))dx ⇔y = Cx2 √x + 1

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

3

Bi^e n thi^en h a ng s^o : C′ = −1

x2 ⇒C = −1

x + ε.

V^a. y nghi^e.m t^o'ng qua t: y = x2 √x + 1(1

x + ε)

10) Gia'i phu.o.ng tr nh: y” = e2y thoa'

( y(0) = 0 y′(0) = 0

HD gia’i: D- a. t z = y′ →y” = z.dz

dy phu.o.ng tr nh tro.' tha nh z.dz

dy = e2y ⇔z2

2 = e2y

2 + ε

y′(0) = y(0) = 0 ⇒ε = −1

2. V^a. y z2 = e2y −1. T u. d o :

z = dy

dx = √

e2y −1 ⇒ Z dy √

e2y −1 = x + ε. d¯ˆo’i biˆe´n t = √

e2y −1

arctg √

e2y −1 = x + ε

y(0) = 0 ⇒ε = 0. V^a. y nghi^e.m ri^eng thoa' d i^e u ki^e.n d ^e ba i: y = 1

2 ln(tg2x + 1).

11) T m nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng tr nh: xy′ + 2y = xyy′ thoa' ma~n d i^e u ki^e.n d ^a u y(−1) = 1.

HD gia’i: Vi^e t phu.o.ng tr nh la.i: x(1 −y)y′ = −2y; do y(−1) = 1 n^en y ̸≡0. D- u.a v^e

phu.o.ng tr nh ta ch bi^e n: 1 −y

y dy = −2dx

x t ch ph^an t^o'ng qua t: x2ye−y = C. Thay d i^e u ki^e.n va o ta d u.o.. c C = 1

e. V^a. y t ch ph^an ri^eng c^a n t m la : x2ye1−y = 1.

12) B a ng ca ch d a.t y = ux, ha~y gia'i phu.o.ng tr nh: xdy −ydx − p

x2 −y2dx = 0. (x > 0)

HD gia’i: D- a. t y = ux; du = udx + xdu thay va o phu.o.ng tr nh va gia'n u. o.c x: xdu − √

1 −u2dx = 0. Ro~ ra ng u −±1 la nghi^e.m. khi u ̸≡±1 d u.a phu.o.ng tr nh v^e …