Toán học - Phần Tích phân

1

TÍCH PHÂN --------------------------------------------------------------------------------

TT Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp

1 1 . dx= 1.dx=x+C   a với k là số thực. 1 . k.dx=kx + C  b

2

1 x 2 . x dx= + C. 1 a

 





  1     

1 ax+b 1 2 . ax+b dx= + C. a 1 b

 





  1 

3 2 1 1 3 . dx= +C. x x   a  

2 1 1 1 3 . dx= . + C. a ax+b ax+b

  b

4 1 4 . dx= ln x +C. x a 1 1 4 . dx= ln ax+b + C. ax+b a  b

5

x x 5 . e dx= e + C.  a ax+b ax+b 1 5 . e dx= e + C. a  b

6 6 . sinxdx = cosx + C.   a     1 6 . sin ax+b dx= cos ax+b + C. a   b

7 7 . cosxdx= sinx + C.  a     1 7 . cos ax+b dx= sin ax+b + C. a  b

8 2 1 8 . dx= tanx + C. cos x  a     2

1 1 8 . dx= tan ax+b + C. cos ax+b a  b

9 2 1 9 . dx= cotx + C. sin   a x     2

1 1 9 . dx= cot ax+b + C. sin ax+b a   b

10

x x a 10 . a dx= + C. ln  a a

mx+n mx+n 1 a 10 . a dx= . + C. m ln  b a 1. Đạo hàm của hàm lũy thừa.



/ 1 . x x      

/ 1 . . ' u u u     

2. Đạo hàm của hàm lượng giác.

 

/ sinx osx c   

/ sinu '. osu u c   

/ osx sinx c   

/ osu '.sinu c u 

 

/

2 1 tanx os c x   

/

2 ' tanu os  u c u  

/

2 1 cotx sin  x  

/

2

' cotu sin  u

u  

/ 2 sin sin 2 x x   

/ 2 os sin 2 c x x 

3. Đạo hàm của hàm mũ.



/ x x e e  

/ '. u u e u e 

Tổng quát: 

/ .ln x x a a a  

/ .ln . ' u u a a a u 

4. Đạo hàm của hàm lôgarít.

 

/ 1 lnx x   

/ ' lnu u

u 

Tổng quát:  

/ 1 log .ln a x x a   

/ ' log .ln a

u u u a 

ThuVienDeThi.com

2

Tích phân

1. Định nghĩa. I .     b b

a a f x dx F x F b F a      2. Tính chất của tích phân.

a. I .   . . b b

a a k f x dx k f x dx    

b. I .     b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx           

c. I .   b a

a b f x dx f x dx    

d. I= .  0 a

a f x dx  

e. I .   

0

0 0 , a<x <b      

b x b

a a x f x dx f x dx f x dx

f. Tính phân không phụ thuộc vào biến.

Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức:

Vấn đề 1: Tích phân hàm đa thức: Bậc nhất, bậc 2, bậc 3, bậc 4,…

1. Công thức áp dụng:

 .

1

. 1 x x dx C

 



    

1 1 . 1 x dx x dx C x

   

         

1 . . 1 x k x dx k C

 



    

2. Phương pháp:

Biến đổi đưa về các đa thức sau đó áp dụng bảng nguyên hàm. Bài 1: Tính các tích phân sau:

1. 2.   1

0 2 I x dx   

1 3 2

0

3 3 2 4 I x x dx          

3. 4.

2 1 4

0

1 2 4 5 x I x dx          

1 2

0

1 3 2 3 I x x dx          

5. 6.  

1 2 3

0 I x x x x x dx      

1 2 4

0 2 3 4 I t t dt     Bài 2: Tính các tích phân sau:

1. 2.   1 2

0 1 I x x dx     

3 1 3 2

0 2 3 x I x x dx   

3. 4. 1 4

0

1 2 I x xdx           

1 2

0 2 3 2 1 I x x x dx    

5. 6.  

1 3 2

0 4 3 I x x x dx     

1 4 4

03 3 4 I x x dx    Bài 3: Tính các tích phân sau:

1. 2.   1 2

0 1 2 x I x dx     

1 2 3 2 3

0 2 2 I x x x dx   

3. 4.  

1 2 3

0 2 1 I x x dx       1 2

0 1 1 I x x dx    

5. 6.   

1 2 3 2 3

0 2 1 2 I x x x dx      

1 3 3

0 2 1 I x x dx    Bài 4: Tính các tích phân sau:

ThuVienDeThi.com