Toán học - Tích phân hàm hữu tỉ - Đề 3

1

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Vấn đề 1: Tính tích phân 2

ax+b cx

n

m I dx dx e    

Ta xét ba trường hợp:

 Mẫu số có hai nghiệm phân biệt.  Mẫu số có nghiệm kép.  Mẫu số vô ngiệm. Trường hợp 1: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt .Ta có: . 1 2 , x x    2

1 2 cx dx e c x x x x     

Ta biến đổi tích phân về dạng 2

1 2

ax+b cx

n n

m m

A B I dx dx dx e x x x x               

Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.

1. 2. 2

2 1

7 12 7 12 x I dx x x     

0

2 1

1 3 2 x I dx x x 

    

3. 4. 5

2 4

3 7 5 6 x I dx x x     

1

2 0

4 11 5 6 x I dx x x     

Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai. Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.

1. 2.

2 2

2 1 7 12 x I dx x x    

2 0

2 1

2 3 3 2 x x I dx x x 

     

3. 4.

2 0

2 1

1 3 2 x x I dx x x 

     

2 1

2 0

2 1 5 6 x x I dx x x      

Nhận xét: Từ bài số 1 ta lấy tử số cộng cho mẫu số ta được bài số 2. Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có:  

2 2

0 cx dx e c x x    

Ta biến đổi tích phân về dạng .  

2 2

0

ax+b ax+b cx

n n

m m I dx dx dx e c x x       

Ta đặt t=x-x0. Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 0

2 1

2 1 2 1 x I dx x x 

    

1

2 0

3

2 1 x I dx x x    

3. 4. 1

2 0

2 3 6 9 x I dx x x     

1

2 0

2

6 9 x I dx x x    

Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai hoặc bậc ba. Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2.

2 0

2 1 2 1 x I dx x x     

2 1

2 0

2 2 1 x I dx x x     

3. 4.

2 1

2 0

2 3 6 9 x x I dx x x     

3 1

2 0

2 6 9 x I dx x x     

Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.

Ta phân tích ax+b=p( )’+q. 2 cx dx e  

Khi đó:  

/ 2

2 2 2 cx ax+b 1 cx cx cx

n n n

m m m dx e I dx p dx q dx dx e dx e dx e

             

Ta tính tích phân bằng cách đổi biến.  

/ 2

2 cx

cx

n

m

dx e A p dx dx e

     

ThuVienDeThi.com

2

Ta tích tích phân bằng cách biến đổi như sau. 2

1 cx

n

m B q dx dx e    

Ta phân tích .  

2 2 2 0

1 1 cx

n n

m m B q dx q dx dx e x x u        

Khi đó ta đổi biến bằng cách đặt: . 0 tan x x u t   Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 2

2 0

2 3 2 4 x I dx x x     

2

2 1

2 9 2 10 x I dx x x 

    

3. 4. 4

2 2

2 7 6 10 x I dx x x     

1

2 0

2 2

1 x I dx x x     

Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 1

2 0

2 3 1 x I dx x

   

2

2 0

2 8 4 x I dx x

   

3. 4. 3

2 0

1

9 x I dx x

   

2

2 0

2

2 x I dx x

   

ThuVienDeThi.com