Toán học - Tích phân hàm lượng giác

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân hoặc sin b n

a I xdx  os b n

a I c xdx  Ta xét các trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: n=1. 2. Trường hợp 1: n=2. 3. Trường hợp 1: n=3. 4. Trường hợp 1: n=4. 5. Trường hợp 1: n=5.

Trường hợp 1: n=1.

Tính tích phân: hoặc sin b

a I xdx  os b

a I c xdx  Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm. Bài 1: Tính các tích phân sau:

1. 2. 3. 2 0 sin I xdx

    2 0 sin 2 I x dx

   

2 0 sin I x dx

           

Trường hợp 2: n=2 hoặc n=4.

Tính tích phân:

o hoặc . 2 sin b

a I xdx 

2 os b

a I c xdx 

o hoặc 4 sin b

a I xdx 

4 os b

a I c xdx  Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc. Công thức hạ bậc:

  2 1 cos 1 os2x 2 x c  

.   2 1 sin 1 os2x 2 x c  

     

2 2 2 4 2 1 1 cos os 1 os2x 1 os2x 2 4 x c x c c           

.      

2 2 2 4 2 1 1 sin sin 1 os2x 1 os2x 2 4 x x c c            Bài 2: Tính các tích phân sau:

1. 2. 3. 2 2 0 sin I xdx

 

2 4 0 sin 2 I xdx

 

2 0 sin 2 x I dx

           

Bài 3: Tính các tích phân sau:

1. 2. 3. 2 2 0 os I c xdx

 

2 6 0 os 3 I c xdx

 

2 0 os 4 x I c dx

           

Trường hợp 3: n=3 hoặc n=5.

Tính tích phân:

o hoặc . 3 sin b

a I xdx 

3 os b

a I c xdx 

o hoặc 5 sin b

a I xdx 

5 os b

a I c xdx  Cách giải: Đổi biến số.

o Phân tích hoặc thành: . Sau đó đặt . 3 sin x 5 sin x   sin . osx. b

a I f x c dx    sinx t f 

o Phân tích hoặc thành: . Sau đó đặt . 3 cos x 5 cos x   os .sinx. b

a I f c x dx    cosx t f 

Ta áp dụng hằng đẳng thức:

ThuVienDeThi.com

2 2 2 2

2 2 sin 1 os sin os 1

os 1 sin

x c x x c x

c x x

     

   

3 2 2

3 2 2 sin x=sin .sinx 1 os sinx

os os . osx 1 sin . osx

x c x

c x c x c x c

        

   

2 5 4 2

2 5 4 2

sin x=sin .sinx 1 os sinx

os os . osx 1 sin . osx

x c x

c x c x c x c

         Lưu ý: là một thức theo sinx, là một biểu thức theo cosx.   sinx f   cosx f

Bài 4: Tính các tích phân sau:

1. 2. 3 2 0 sin I xdx

 

3 4 0 sin 2 I xdx

 

3. 4. 5 2 0 sin I xdx

 

5 2 0 sin 2

x I dx

 

Bài 5: Tính các tích phân sau:

1. 2. 3 2 0 os I c xdx

 

5 3 0 os 2

x I c dx

 

3. 4. 5 2 0 os I c xdx

 

5 2 0 os 3

x I c dx

 

Dạng 2: Tính tích phân n sin . os b m

a I x c xdx  Ta xét các trường hợp sau:

1. TH1: m=n=1. 2. TH2: m=n=2. 3. TH3: m=n=3. 4. TH4: m lẻ và n chẵn. 5. TH5: m chẵn và n lẽ. 6. TH6: với m và n cùng chẵn. m n  7. TH7: với m và n cùng lẻ. m n 

Trường hợp 1: m=n=1. Ta có: 1 sin . os sin2 2

b b

a a I x c xdx xdx    

Công thức nhân đôi:

 . sin2 2sin . osx x x c 

 . 1 1 sin . osx= .2sin . osx= sin2 2 2 x c x c x

  

2 2 2 2 2 1 1 sin . os x= sinx.cosx = .2sin . osx = sin 2 2 4 x c x c x      

  

3 3 3 3 3 1 1 sin . os x= sinx.cosx = .2sin . osx = sin 2 2 8 x c x c x       Bài 6: Tính các tích phân sau:

1. 2. 2 0 sin . osx I x c dx

 

4 0 sin2 . os2x I x c dx

 

3. 4. 2 0

x sin . os 2 2 x I c dx

 

2 0

3 3x sin . os 2 2 x I c dx

 

Trường hợp 2: m=n=2. Ta có: 2 2 2 1 sin . os sin 2 4

b b

a a I x c xdx xdx    

Cách giải: Hạ bậc.

ThuVienDeThi.com