Toán học - Tích phân hàm hữu tỉ

1

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Dạng 1: Tính tích phân

1. 2. . 1 ln x x

n n

m m I dx   

1 1 .ln ax+b ax+b

n n

m

m I dx a   

Bài 1: Tính các tích phân sau.

1. 2. 3

2

2 3 1 I dx x x          

0

1

4 6 1 2 1 3 I dx x x 

          

Dạng 2: Tính tích phân

1. 2. . 2 1 1 x

n n

m

m I dx x     

2 1 1 1 .ax+b ax+b

n n

m

m I dx a   

Bài 1: Tính các tích phân sau.

1. 2.  

3

2 2 2

1 1 2 1 I dx x x

               

0

2 2 1

4 6

2 1 3 I dx x x 

           

Dạng 3: Tính tích phân sau . 2

1 ax +bx+c

n

m I dx 

Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có:  

2 2

0 ax bx c a x x    

Ta biến đổi tích phân về dạng .  

2 2

0

1 1 ax

n n

m m I dx dx bx c a x x       

Bài 1: Tính tích phân.

1. 2. 3. 4. 0

2 1

1 2 1 I dx x x     

1

2 0

3 2 1 I dx x x    

1

2 0

2 6 9 I dx x x     

1

2 0

3 6 9 I dx x x     

Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt .Ta có: . N , x L x    2 ax L N bx c a x x x x     

Ta biến đổi tích phân về dạng   2

1 1 1 1 ax

n n

m m L N L N I dx dx bx c a x x x x x x                

Bài 1: Tính tích phân.

1. 2. 3. 4. 2

2 1

1 7 12 I dx x x    

0

2 1

2 3 2 I dx x x     

5

2 4

3 5 6 I dx x x     

1

2 0

4 5 6 I dx x x     

Bài 2: Tính tích phân.

1. 2. 3. 4. 3

2 2

1

1 I dx x   

0

2 1

2 9 I dx x    

1

2 0

3

2 I dx x   

1

2 0

1 3 I dx x    

Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.

 Dạng 1: . Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt . 2 2 1 n

m I dx x a    tant x a 

 Dạng 2: Ta phân tích . 2

1 ax

n

m I dx bx c      

2 2 2 0

1 1 ax

n n

m m I dx dx bx c x x u        

o Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt: . 0 tan x x u t   Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 3. 4. 1

2 0

1

1 I dx x   

2

2 0

8

4 I dx x   

3

2 0

9

9 I dx x   

2

2 0

2

2 I dx x   

Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 3. 4. 2

2 0

1 2 4 I dx x x    

2

2 1

2 2 10 I dx x x     

4

2 3

7 6 10 I dx x x    

1

2 0

2

1 I dx x x     

ThuVienDeThi.com

2

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Vấn đề 1: Tính tích phân 2

ax+b cx

n

m I dx dx e    

Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có:  

2 2

0 cx dx e c x x    

Ta biến đổi tích phân về dạng . Ta đặt t=x-x0.  

2 2

0

ax+b ax+b cx

n n

m m I dx dx dx e c x x       

Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 3. 4. 0

2 1

2 1 2 1 x I dx x x 

    

1

2 0

3

2 1 x I dx x x    

1

2 0

2 3 6 9 x I dx x x     

1

2 0

2

6 9 x I dx x x    

Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai hoặc bậc ba. Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

1. 2. 3. 4.

2 0

2 1 2 1 x I dx x x     

2 1

2 0

2 2 1 x I dx x x     

2 1

2 0

2 3 6 9 x x I dx x x     

3 1

2 0

2 6 9 x I dx x x     

Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt .Ta có: . 1 2 , x x    2

1 2 cx dx e c x x x x     

Ta biến đổi tích phân về dạng 2

1 2

ax+b cx

n n

m m

A B I dx dx dx e x x x x               

Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.

1. 2. 3. 4. 2

2 1

7 12 7 12 x I dx x x     

0

2 1

1 3 2 x I dx x x 

    

5

2 4

3 7 5 6 x I dx x x     

1

2 0

4 11 5 6 x I dx x x     

Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai. Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.

1. 2. 3. 4.

2 2

2 1 7 12 x I dx x x    

2 0

2 1

2 3 3 2 x x I dx x x 

     

2 0

2 1

1 3 2 x x I dx x x 

     

2 1

2 0

2 1 5 6 x x I dx x x      

Nhận xét: Từ bài số 1 ta lấy tử số cộng cho mẫu số ta được bài số 2.

Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.

Ta phân tích ax+b=p( )’+q. 2 cx dx e  

Khi đó:  

/ 2

2 2 2 cx ax+b 1 cx cx cx

n n n

m m m dx e I dx p dx q dx dx e dx e dx e

             

Ta tính tích …