Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải

www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải

Biên soạn: Thầy Trần Sĩ Tùng - Trang 1

. TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ

Dạng 1: Tách phân thức

Câu 1. x I dx x x

2 2

2 1 7 12 = − + ∫

• I dx x x

2

1

16 9 1 4 3   = + −   − −   ∫ = ( ) x x x

2

1 16ln 4 9ln 3 + − − − = 1 25ln2 16ln3 + − .

Câu 2. dx I

x x

2

5 3 1 =

+ ∫

• Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1

( 1) 1 = − + + + +

⇒ I x x x

2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2

  = − − + + = − + +    

Câu 3. x I dx x x x

5 2

3 2 4

3 1

2 5 6

+ = − − + ∫ • I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 = − + +

Câu 4. xdx I x

1

0 3 ( 1) = + ∫

• Ta có: x x x x x x

2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

− − + − = = + − + + + I x x dx 1 2 3 0

1 ( 1) ( 1) 8

− −   ⇒ = + − + =   ∫

Dạng 2: Đổi biến số

Câu 5. x I dx x

2

4 ( 1)

(2 1)

− = + ∫ • Ta có: x x f x x x

2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1

′     − − =     + +    

⇒ x I C x

3 1 1 9 2 1   − = +   +  

Câu 6. ( )

( )

x I dx x

99 1

101 0

7 1

2 1

− = + ∫

• ( )

x dx x x I d x x x x

99 99 1 1

2 0 0

7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1

      − − − = =       + + +       + ∫ ∫

x x

100 100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900   −   = ⋅ =  −   +  

Câu 7. x I dx x

1

2 2 0

5

( 4) = + ∫ • Đặt t x2 4 = + ⇒ I 1 8 =

Câu 8. x I dx x

1 7

2 5 0 (1 ) = + ∫ • Đặt t x dt xdx 2 1 2 = + ⇒ = ⇒ t I dt t

2 3

5 5 1

1 ( 1) 1 1 . 2 4 2

− = = ∫

ThuVienDeThi.com

Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com

Biên soạn: Thầy Trần Sĩ Tùng - Trang 2

Câu 9. I x x dx 1 5 3 6

0

(1 ) = − ∫

• Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x

1 7 8 3 2 6 2 0

1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3

  − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − =     ∫

Câu 10. I dx x x

4 3

4 1

1

( 1) = + ∫ • Đặt t x2 = ⇒ t I dt t t

3

2 1

1 1 1 3 ln 2 4 2 1

  = − =   +   ∫

Câu 11. dx I x x

2

10 2 1 .( 1) = + ∫ • x dx I x x

2 4

5 10 2 1

.

.( 1) = + ∫ . Đặt t x5 = ⇒ dt I t t

32

2 2 1

1 5 ( 1) = + ∫

Câu 12. x I dx x x

2 7

7 1

1

(1 )

− = + ∫ • x x I dx x x

2 7 6

7 7 1

(1 ).

.(1 )

− = + ∫ . Đặt t x7 = ⇒ t I dt t t

128

1

1 1 7 (1 ) − = + ∫

Câu 13. dx I

x x

3

6 2 1 (1 ) = + ∫

• Đặt : x t 1 = ⇒ t I dt t t dt t t

3 1 6 3 4 2 2 2 1 3 3

1 1 1 1

  = − = − + −   + +   ∫ ∫ = 117 41 3 135 12

π − +

Câu 14. x I dx x

2 2001

2 1002 1

. (1 ) = + ∫

• x I dx dx x x x x

2 2 2004

3 2 1002 1002 1 1 3 2

1 . . (1 ) 1 1

= = +   +    

∫ ∫ . Đặt t dt dx x x 2 3 1 2 1 = + ⇒ = − .

Cách 2: Ta có: x xdx I

x x

1 2000

2 2000 2 2 0

1 .2 2 (1 ) (1 ) = + + ∫ . Đặt t x dt xdx 2 1 2 = + ⇒ =

⇒ t I dt d t t t t

1000 2 2 1000

1000 2 1001 1 1

1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2

    − = = − − =         ∫ ∫

Câu 15. x I dx x

2 2

4 1

1

1

+ = + ∫

• Ta có: x x x x

x

2 2

4 2

2

1 1 1

1 1

+ + = + + . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1   = − ⇒ = +    

⇒ dt I dt t t t

3 3 2 2

2 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2

  = = −   − + −   ∫ ∫

t

t

3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1

  − − = =     + +  

ThuVienDeThi.com