Hình 12 - Mặt cầu - Mặt phẳng - Đường thẳng trong không gian

HCT - GV THPT Hoài Ân-Bình Định

MẶT CẦU-MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN, CÁC EM CẦN NẮM

1. = (xB-xA; yB-yA;zB-zA); AB

2. AB = 2 2 2 ) ( ) ( ) ( A B A B A B z z y y x x     

3. Cho = (a1;a2;a3), = (b1;b2;b3) và số thực k. Thế thì: a b

a) = a1 = b1 và a2 = b2 và a3 = b3. a b 

b) = (a1 b1; a2 b2; a3 b3) a b   

c) k. = (ka1;ka2;ka3) a

d) Tích vô hướng = a1b1 + a2b2 + a3b3 a b

e) Độ dài véc tơ là : | | = a a

2 3 2 2 2 1 a a a  

f) Góc giữa hai véc tơ và là : cos( , ) = a b a b

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

b b b a a a

b a b a b a

   

 

g) = 0 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 a b a b 

4. Tích có hướng : Cho = (a1;a2;a3), = (b1;b2;b3).Thế thì = [ , ] = a b n a b  

  



2 1

2 1

1 3

1 3

3 2

3 2

b

a ; b

a ; b

a

b

a

b

a

b

a

Lưu ý : Tích có hướng của 2 véctơ là một véctơ. Véctơ này vuông góc với cả 2 véctơ ban đầu.

Tức là và n a n b

và cùng phương [ , ] = a b a b 0

Như vậy, nếu thấy [ , ] thì , không cùng phương a b 0 a b

5. Diện tích hình bình hành ABCD: S = |[ , ]| AB AD

Và do đó diện tích tam giác ABC : S = |[ , ]| 2 1 AB AC

6. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng , , đồng phẳng [ , ] = 0 AB AC AD  AB AC AD

7. A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện , , không đồng phẳng [ , ] 0 AB AC AD  AB AC AD 

8. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = |[ , ] | AB AD ' AA

(Cách nhớ: Từ một đỉnh bất kỳ phát ra 3 cạnh)

Và do đó, thể tích tứ diện ABCD là : V = |[ , ] | 6 1 AB AC AD

9. Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R là :

(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 (dạng 1)

Hoặc x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (dạng 2)

Với lưu ý a2 + b2 + c2 – d > 0

Phương trình mặt cầu ở dạng 2, có tâm là I(a;b;c), bán kính R = d c b a    2 2 2

10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 0 

A B

C D

A B

C

A’ B’ D’

D

ThuVienDeThi.com

Mặt cầu - Mặt phẳng - Đường thẳng trong không gian HCT - GV THPT Hoài Ân 2

* Mặt phẳng ( ) qua M0(x0;y0;z0) và nhận = (A;B;C) làm véctơ pháp tuyến (VTPT) phương trình là :  n

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng ( ) cắt 0x tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt 

Oz tại C(0;0;c), abc 0, phương trình là :  1    c

z b

y a

x

* Các trường hợp riêng của mp ( ):Ax + By + Cz +D = 0 

a. Khuyết D : khi đó ( ):Ax + By + Cz = 0, mp này qua gốc O 

b. Khuyết A (B, C, D 0) khi đó ( ): By + Cz + D = 0, mp này song song với Ox  

c. Khuyết A và B (C, D 0) khi đó ( ): Cz + D = 0, mp này song song với mp(Oxy)  

Cách nhớ: Nhìn vào phương trình thấy không có D thì mp qua O; không thấy x thì // hoặc Ox, … 

11. VTTĐ của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp

( ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, VTPT = (A1;B1;C1) 1  1n

( ): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, VTPT = (A2;B2;C2) 2  2 n

Nếu thấy = k và D1 kD2 thì ( )//( ) 1n 2 n  1  2 

Nếu thấy = k và D1 = kD2 thì ( ) ( ) 1n 2 n 1   2 

Nếu thấy k thì ( ) cắt ( ). Đặc biệt : ( ) ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 1n  2 n 1  2  1   2  

12. Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp ( ):Ax + By + Cz +D = 0 là : 

d(M0,( )) = 

2 2 2

0 0 0 | |

C B A

D Cz By Ax

 

  

13. Phương trình tham số của đường thẳng (d) : t R 





 

 

 

ct z z

bt y y

at x x

0

0

0



trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm mà (d) đi qua và = (a;b;c) là véctơ chỉ phương (VTCP) của (d). a

* Phương trình chính tắc của đường thẳng (d): (abc 0) c

z z b

y y a

x x 0 0 0      

14. VTTĐ của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (d): và (d’): 





 

 

 

ct z z

bt y y

at x x

0

0

0

 

 



 

 

 

' ' ' 0

' ' ' 0

' ' ' 0

t c z z

t b y y

t a x x

Từ 2 phương trình đó, ta lấy ra M0(x0;y0;z0) (d) ; M’0(x’0;y’0;z’0) (d’);  

VTCP của (d): = (a;b;c); VTCP của (d’): = (a’;b’;c’) a 'a

a. Nếu thấy 3 véctơ , và cùng phương thì kết luận (d) (d’) a 'a ' 0 0M M 

(Tức là [ , ] = và [ , ] = ) a 'a 0 a ' 0 0M M 0

ThuVienDeThi.com