Toán khối 12 - Chủ đề 3 phương trình mặt phẳng

Họ và tên: …………………………………………………………………………………………………………

Lớp:………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0&(P):A’x+B’y+C’z+D’=0 với A’B’C’#0

 (P) cắt (Q) : : ': ': ' A B C A B C  

 (P) //(Q) ' ' ' ' A B C D A B C D    

 ( ) ( ) . ' . ' . ' 0 P Q A A B B C C      Khoảng cách và góc

 Góc giữa hai mp: Cho hai mp (P)&(Q) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là

( ; ; ) & '( '; '; ') n A B C n A B C  

Gọi là góc giữa hai mp, khi đó:

  2 2 2 '2 2 2 . ' . ' . ' . ' os os , '

. ' . ' '

n n A A B B C C c c n n

n n A B C A B C      

   

 



 Khoảng cách từ một điểm đến một mp: Khoảng cách từ điểm   0 0 0 ; ; M x y z đến

mp (P):Ax+By+Cz+D=0 là:

0 0 0

2 2 2 Ax d( ;( )) By Cz D M P

A B C

   

 

 Một số chú ý:  t mp(Oxy) là: z = 0  t mp(Oxz) là: y = 0  t mp(Oyz) là: x = 0

 ( ) d P d P u n     

 / / ( ) d P d P u n    

( ) d P d P u n     

 (2 đường thẳng) d d u u    

 (2 đường thẳng) / / d d u u    

( ) ( ) P Q P Q n n     



 Viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1. Mặt Phẳng   Đi Qua   0 0 0 0 ; ; M x y z Và Có Vectơ Pháp Tuyến   ; ; 0 n A B C    

.

      0 0 0 0 A x x B y y C z z       hoặc 0 Ax By Cz D     với   0 0 0 D Ax By Cz    .

Dạng 2. Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:

ThuVienDeThi.com

 Cặp vectơ chỉ phương: , AB AC 

 Mặt phẳng   đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến , n AB AC      

.

Dạng 3. Mặt phẳng trung trực đoạn AB:

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB   

Dạng 4. Mặt phẳng () qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB   

hoặc vectơ chỉ phương của

đường thẳng d

Dạng 5. Mp qua M và song song (): Ax + By + Cz + D = 0

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến   ; ; n n A B C      

Dạng 6. Mp() chứa (d) và song song (d’)

 Lấy điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z d 

 Xác định vectơ chỉ phương ' ; d d u u



của đường thẳng  d và đường thẳng ' d .

 Mặt phẳng   đi qua 0 M và có vectơ pháp tuyến ' , d d n u u      

.

Dạng 7. Mp() qua M, N và vuông góc :

 Tính MN



.

 Tính , n MN n        

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n



Dạng 8. Mp() chứa (d) và đi qua M

 Lấy điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z d 

 Tính 0 MM 

. Xác định vectơ chỉ phương du 

của đường thẳng  d .

 Tính 0, d n MM u       

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc 0 M ) và có vectơ pháp tuyến n



.

Dạng 9. Mp() Đi Qua M Và Vuông Góc Với Hai Mặt Phẳng  ,   Cho Trước

 Tìm vectơ pháp tuyến 1n 

của mặt phẳng   và vectơ pháp tuyến 2n 

của mặt phẳng

 .

ThuVienDeThi.com

 Tính 1 2 , n n     

.

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến 1 2 . , n k n n       

.

Dạng 10. Mặt Phẳng   Chứa Hai Đường Thẳng   1 2 ,   Cắt Nhau.

 Tìm vectơ chỉ phương 1u 

của đường thẳng  1  và 2u 

của đường thẳng   2  .

 Tính 1 2 , u u     

.

 Chọn điểm   0 0 0 0 1 ; ; M x y z  hoặc    0 0 0 0 2 ; ; M x y z 

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc 0 M ) và có vectơ pháp tuyến 1 2 . , n k n n       

.

Hình chiếu của điểm M

H là hình chiếu của M trên mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (): ta có da n   

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có d n a   

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

Điểm đối xứng

Điểm M’ đối xứng với M qua mp

 Tìm hình chiếu H của M trên mp ()

 H là trung điểm của MM’.

Điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng …