Hình học 12 - Bài 2 Phương trình mặt cầu

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 1 | T H B T N Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8

R I B A

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

2. Các dạng phương trình mặt cầu

Dạng 1 : Phương trình chính tắc Mặt cầu (S) có tâm   ; ; I a b c , bán kính 0  R .

       2 2 2 2 : S x a y b z c R      

Dạng 2 : Phương trình tổng quát

2 2 2 ( ): 2 2 2 0        S x y z ax by cz d (2)

 Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

mặt cầu: 2 2 2 0 a b c d    

 (S) có tâm   ; ; I a b c .

 (S) có bán kính: 2 2 2     R a b c d .

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng  P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P   d IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P . Khi đó :

+ Nếu  d R : Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung.

+ Nếu  d R : Mặt phẳng tiếp xúc

mặt cầu. Lúc đó:  P là mặt phẳng

tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp

điểm.

+ Nếu : d R  Mặt phẳng  P

cắt mặt cầu theo thiết diện là

đường tròn có tâm I' và bán

kính 2 2   r R IH

P

M2

M1

H

I R

R

I

H P

d

r I'

α

R

I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó

được gọi là đường tròn lớn.

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi

là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu:   ; S I R     ; | S I R M IM R   

ThuVienDeThi.com

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 2 | T H B T N Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó :

+  IH R :  không cắt mặt cầu.

+  IH R :  tiếp xúc với mặt cầu.  là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

+  IH R :  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

R

I

 H H



I

R

H B

A

I

R

Δ

* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định:   ; . d I IH 

+ Lúc đó:

2 2 2 2 2         

AB R IH AH IH

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) .



2 2 2 : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d       

: 0 Ax By Cz D     

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

+ Tâm  'I d    .

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp( ) 

+ Bán kính     

2 2 2 2 ' ' ; R R II R d I        

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)   ; . d I R 

+ Mặt phẳng  là tiếp diện của (S)     ; . d I R  

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z .

Sử dụng tính chất : 

0 0

0 0 //

d IM d IM a

IM IM n 

         

   

R'

I'



R

I

ThuVienDeThi.com