Toán 12 - Phương trình mặt cầu

TRƯỜNG THPT ĐỘI CẤN LÊ HUY LỘC

- 1 -

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: . (1)       2 2 2 2 x a y b z c R      

Dạng 2: (2). Khi đó: Mặt cầu tâm   2 2 2 2 2 2 2ax +2by+2cz +d =0 0 x y z a b c d       

I(-a; -b; -c), bán kính . 2 2 2 R a b c d    

2. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng . 

Tính: . Nếu: ;   , d I     , : d I R C   

tại 2 điểm phân biệt;    , : d I R C  

tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.    , : , d I R C    

3. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng . : Ax +By+Cz +D=0 P

Tính: .    2 2 2 Aa +Bb+Cc+D ,

A d I P

B C 

  Nếu:

1) ;     , : d I P R P C   

2) là đường tròn với H là hình     , : d I P R P C        2 2 ; ; H r R d I P  

chiếu của I trên (P).

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:

      2 2 2 2

Ax +By+Cz +D=0

x a y b z c R          3) tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P)     , : , d I P R P C 

gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).

II. Các dạng toán:

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa về dạng 1 Cách 2: Kiểm tra điều kiện tâm và bán kính. 2 2 2 0 a b c d      Ví dụ:

Cho phương trình:

2 2 2 2 2 2 x 4 y+8 4=0 x y z m m m      Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó. Giải:

Pt đã cho     2 2 2 2 4 2 2 4 4 x m y m z m m        

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THPT ĐỘI CẤN LÊ HUY LỘC

- 2 -

là phương trình mặt cầu   4 2 2 4 4 2 0 2 m m m m        

Khi đó tâm . Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: 2 ( ;2 ;0) I m m

2

4

I I

y x 

Vậy tập hợp tâm I là parabol nằm trong mp Oxy bỏ đi 2 điểm: và

2

4 y x  (2;2 2;0) M

(2; 2 2;0). N 

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước

Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính.

Bài 1:

Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).

Giải: Phương trình mp(ABC): 1 3 0 3 3 3 x y z x y z        

Bán kính mặt cầu: Phương trình mặt cầu:     , 2 3 R d I ABC   

      2 2 2 4 3 2 12 x x x      

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có

phương trình: tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16 5x 4 +3z 20=0 3x 4 +z 8=0 y

y       

Giải: (d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương   2;1; 2 u   

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có:

Bán kính mặt cầu:  

, , 15 MI u IH d I AB

u

       





. Vậy phương trình mặt cầu:

2 2 17 2 AB R IH                2 2 2 2 3 1 289 x y z      

Bài 3:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: 1 2 3 2 1 2 x y z     

và hai mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu   1 2 : x +2y+2z 2=0; : 2x + y+2z 1=0 P P  

có tâm I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên. Giải:

d

R

H B A

ThuVienDeThi.com