Toán học 12 - Phương trình mặt phẳng

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

 Vectơ là VTPT của () nếu giá của vuông góc với (). 0 n 

  n

 Hai vectơ không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song a b ,

 

song hoặc nằm trên (). Chú ý:  Nếu là một VTPT của () thì (k ≠ 0) cũng là VTPT của (). n kn

 Nếu là một cặp VTCP của () thì là một VTPT của (). a b ,

    n a b , 

  

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2 2 2 0 0 Ax By Cz D vôùi A B C         Nếu () có phương trình thì là một VTPT của (). 0 Ax By Cz D     n A B C ( ; ; )  

 Phương trình mặt phẳng đi qua và có một VTPT là: 0 0 0 0 M x y z ( ; ; ) n A B C ( ; ; )  

0 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( )      

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 x y z a b c   

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:(): 1 1 1 1 0 A x B y C z D    

(): 2 2 2 2 0 A x B y C z D    

 (), () cắt nhau  1 1 1 2 2 2 A B C A B C : : : : 

 () // ()   ()  ()  1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D    1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D   

 ()  ()  1 2 1 2 1 2 0 A A B B C C   

5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

  0 0 0 0 2 2 2

Ax By Cz D d M

A B C ,( ) 

   

 

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó. Dạng 1: () đi qua điểm có VTPT :   0 0 0 M x ; y ;z   n A;B;C  

():       0 0 0 0 A x x B y y C z z       Dạng 2: () đi qua điểm có cặp VTCP :   0 0 0 M x ; y ;z a b ,

 

Khi đó một VTPT của () là .   n a b , 

  

Dạng 3: () đ.qua điểm và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:   0 0 0 M x ; y ;z

():       0 0 0 0 A x x B y y C z z       Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là: n AB AC ,      

Dạng 5: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():

– Xác định các VTPT của () và (). n n ,    

– Một VTPT của () là: . n u n ,         

Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT cho trước: n

ThuVienDeThi.com

a) b) c)      M 3;1;1 , n 1;1;2        M 2;7;0 , n 3;0;1        M 4; 1; 2 , n 0;1;3 

d) e) f)       M 2;1; 2 , n 1;0;0         M 3;4;5 ,n 1; 3; 7       M 10;1;9 , n 7;10;1 

Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) b) c) 2 1 1 2 1 1 A B ( ; ; ), ( ; ; )  1 1 4 2 0 5 A B ( ; ; ), ( ; ; )  2 3 4 4 1 0 A B ( ; ; ), ( ; ; )  

d) e) f) 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2              

2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3             

2 5 6 1 3 2 A B ( ; ; ), ( ; ; )  

Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP cho trước, với: a b ,

 

a) b) 1 2 3 2 1 2 3 2 1 M a b ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )       1 2 3 3 1 2 0 3 4 M a b ( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )      

c) d) 1 3 4 2 7 2 3 2 4 M a b ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )      4 0 5 6 1 3 3 2 1 M a b ( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )      

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với mặt phẳng cho   trước, với: a) b)    2 1 5 M Oxy ; ; ,    1 2 1 2 3 0 M x y ; ; , :      c) d)   1 1 0 2 10 0 M x y z ; ; , :        3 6 5 1 0 M x z ; ; , :     e) f) 2 3 5 2 5 0 M x y z ( ; ; ), ( ):      1 1 1 10 10 20 40 0 M x y z ( ; ; ), ( ):     

Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) b) c) d)   2 1 5 M ; ;   1 2 1 M ; ;    1 1 0 M ; ;    3 6 5 M ; ; e) f) g) h) 2 3 5 M( ; ; )  1 1 1 M( ; ; ) 1 1 0 M( ; ; )  3 6 5 M( ; ; ) 

Baøi 6. Viết ptrình mặt phẳng () đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho …