Toán 12 - Lý thuyết Phương trình đường thẳng

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình tham số của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và có 0 0 0 0 M x y z ( ; ; ) VTCP : 1 2 3 a a a a ( ; ; )  

(phương trình tham số) 1

2

3

o

o

o

x x a t d y y a t t R z z a t ( ): ( )         

 Nếu thì đgl phương trình chính tắc của d. 1 2 3 0 a a a  0 0 0

1 2 3

x x y y z z d a a a ( ):     

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:

và 0 1

0 2

0 3

x x ta d y y ta z z ta :

       

0 1

0 2

0 3

x x t a d y y t a z z t a :

                

 d // d  0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

a a cuøng phöông

x ta x t a heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm z ta z t a

,

( , )

                            



   0 0 0 0

a a cuøng phöông M x y z d ,

( ; ; )     



0 0

a a cùng phương a M M không cùng phương , ,

    



   

0 0

0

0 a a

a M M

,

,

        

 

  

 d  d 

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x t a heä y ta y t a aån t t coù voâ soá nghieäm z ta z t a

( , )                     

  0 0 0 0

a a cuøng phöông M x y z d ,

( ; ; )     



0 0 a a M M ñoâi moät cuøng phöông , ,   

   0 0 0 a a a M M , ,            

 d, d cắt nhau  hệ (ẩn t, t) có đúng một nghiệm 0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x t a y ta y t a z ta z t a

                   

  0 0

a a khoâng cuøng phöông a a M M ñoàng phaúng , , ,      



      0 0

0

0 a a a a M M , , .

     

 

 

 d, d chéo nhau  0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

a a khoâng cuøng phöông

x ta x t a heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm z ta z t a

,

( , )

                            



  0 0 a a M M khoâng ñoàng phaúng , ,      0 0 0 a a M M , .    

 d  d   a a    0 a a.  

ThuVienDeThi.com

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): và đường thẳng d: 0 Ax By Cz D    

0 1

0 2

0 3

x x ta y y ta z z ta

        Xét phương trình: (ẩn t) (*) 0 1 0 2 0 3 0 A x ta B y ta C z ta D ( ) ( ) ( )       

 d // ()  (*) vô nghiệm  d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm  d  ()  (*) có vô số nghiệm 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d: (1) và mặt cầu (S): (2) 0 1

0 2

0 3

x x ta y y ta z z ta

       

2 2 2 2 x a y b z c R ( ) ( ) ( )      

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).  d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R  d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm  d(I, d) = R  d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP và điểm M. a

0 M M a d M d

a

, ( , )

    





6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.

d1 đi qua điểm M1 và có VTCP , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP 1a

2 a

1 2 1 2 1 2

1 2

a a M M d d d

a a

, . ( , )

,

    

   

 



Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1. 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (). 8. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP . 1 2 a a , 

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa . 1 2 a a , 

  1 2 1 2

1 2

a a a a

a a

. cos ,

. 

 

 

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng () có VTPT . 1 2 3 a a …