Toán 12 - Đường thẳng trong không gian

Khánh Toàn – 0964.413.168

1

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng

B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó. B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng

B3: PTTS: PTCT: Với a1, a2, a3 0

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

         

0 0 0 x x y y z z a b c      ¹

2. Chú ý

a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P):Ax+By+Cz+D = 0 và (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0

Khi đó đt d có VTCP: ' ; ; ' ' ' ' ' ' P P

B C C A A B u n n B C C A A B

       

  

Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z

b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là AB



c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng thì d và có cùng VTCP   e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc BÀI TẬP 1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7) b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3) 2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0 3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng

4 1 3

x t y t z t

        

b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng

3

2

1 5

x t

y z t

         4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :

a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0 b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0 5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuông góc với

hai đường thẳng: và 1 2 : 2 3 1 x y z      

3 1 ': 3 4 2 x y z       6. (TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P) 7. (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P) 8. (TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình tham số của d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)

ThuVienDeThi.com

Khánh Toàn – 0964.413.168

2

9. (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: và mp(P): x 1 y 3 z 3 1 2 1       2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho qua M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương    ; ; u a b c  

’ qua M’(x’0; y’0; z’0) và có vectơ chỉ phương    ' '; '; ' u a b c  

có PTTS là:

0 0

0 0

0 0

' ' '

; ' ' ' '

' ' '

x x at x x a t

y y bt y y b t

z z ct z z c t

                       

*) Nếu thấy thì lấy tọa độ điểm thế vào phương trình đường thẳng ’. ' u ku   

M   Xảy ra 2 khả năng:

TH1: thì hai đường thẳng trên trùng nhau ' M  TH2: thì 2 đường thẳng trên song song ' M 

*) Nếu thấy thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng ' u ku   

0 0

0 0

0 0

' ' '

' ' '

' ' '

x at x a t

y bt y b t

z ct z c t

             

TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau

*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) b) ' 2 4 ; ' 1 4 ' 3 3 3 3 '

x t x t y t y t z t z t

                  

9

3 5 …