Toán 12 - Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

[ G V . T h s : N g u y ễn M ạn h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] Page 1

Bài 5. Khoảng cách

I. Kiến thức cần nhớ.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng.

a. Định nghĩa 1:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng a) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên (P) (hoặc trên đường thẳng a).

P

a

M

H

M

H

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ký hiệu là d(M; (P)).

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ký hiệu là d(M; a).

b. Chú ý:

* Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm A bất kỳ thuộc (P) thì MH là khoảng cách ngắn nhất.

* Trong các khoảng cách từ điểm M đến điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng a thì khoảng cách MH ngắn nhất.

Tức là ta có  , MA MH A P   hoặc , . MA MH A a  

* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng a ta chỉ cần dựng MH vuông góc với a, H thuộc a và điều tiếp theo là tính MH.

* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần xác định hình chiếu vuông góc H lên (P).

Bạn đọc thử suy nghĩ xem chúng ta có thể tìm hình chiếu H của điểm M lên (P) như thế nào?

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

a. Định nghĩa 2:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng

cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

Ký hiệu khoảng cách từ a đến mặt phẳng (P) song song với a là d(a; (P)).

P

a M

H A

* Chú ý: Trong các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến một điểm bất kỳ của (P), khoảng cách MH = d(a; (P)) là nhỏ nhất.

Ta có  , , MA MH M a A P     , H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

ThuVienDeThi.com

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

[ G V . T h s : N g u y ễn M ạn h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] Page 2

b. Định nghĩa 3:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Ký hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P), (Q)).

Khi đó ta có d((P); (Q))=d(P; (P))=d(Q; (P)), với P thuộc (P) và Q thuộc (Q).

* Chú ý:

- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

a. Đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung.

* Thuật ngữ: - Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, một đường thẳng c cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

- Nếu đường vuông góc chung c cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đoạn thẳng AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

b. Định nghĩa 4:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

c. Chú ý:

- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau a và b thì khoảng cách giữa hai điểm sao cho đoạn nối hai điểm này là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b là ngắn nhât.

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo định nghĩa ta phải dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

d. Nhận xét:

1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

* Dựa vào hai nhận xét trên ta có thể chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về:

- tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó (theo nhận xét (1))

- tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song theo nhận xét (2).

Các bạn thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều thể chuyển về tính khoảng cách …