Toán khối 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm

- Véc tơ ( ; ; ) u x y z u xi y j zk          

- Điểm ( ; ; ) M x y z OM xi y j zk         

- Véc tơ 0 (0;0;0)  

- Điểm     ; ; ; ; ; A A A B B B A x y z B x y z   ;   ; ; C C C C x y z  thì

  ; ; B A B A B A AB x x y y z z     

và       2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z        

- Tọa độ trung điểm I của AB: ; ; 2 2 2

A B A B A B I I I x x y y z z x y z      

- Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

; ; 3 3 3

A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x y z         

2. Các phép toán

Cho     ' ' ' ; ; ; ; ; u x y z v x y z    

thì

-     ' ' ' ; ; ; ; ; u v x x y y z z ku kx ky kz         

;

'

'

'

x x

u v y y

z z

       

 

- u



cùng phương với  

'

' ' ' ' ' ' ' '

. . 0

x kx

x y z v u kv y ky x y z x y z z kz

            

  

3. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ

Trong không gian Oxyz cho     ' ' ' ; ; ; ; ; u x y z v x y z    

3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số:  . . .cos , u v u v u v    

- Biểu thức tọa độ: ' ' ' . . . . u v x x y y z z    

; ' ' ' . 0 . . . 0 u v u v x x y y z z          

- Độ dài véc tơ:

2 2 2 u x y z    

- Góc giữa hai véc tơ: 

' ' '

2 2 2 '2 '2 '2 . . . . cos ,

. .

u v x x y y z z u v

u v x y z x y z

   

   

 



3.2.Tích có hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau

  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , ; ; ; ; y z z x x y u v yz y z zx z x xy x y y z z x x y

               



- Tính chất: o , ; , u v u u v v              

o u



cùng phương với , 0 v u v         

- Ứng dụng của tích có hướng: o , , w u v



đồng phẳng , .w 0 ( ) u v        

(ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên một mặt phẳng).

ThuVienDeThi.com

Trang 2

o , , w u v



không đồng phẳng , .w 0 ( ) u v        

.

o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng , . 0 ( ) AB AC AD        

(bốn điểm nằm trên một mặt phẳng).

o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng , . 0 ( ) AB AC AD        

(bốn đỉnh của một tứ diện).

o Diện tích hình bình hành: , ( ) ABCD S AB AD       

o Diện tích tam giác: 1 , ( ) 2 ABC S AB AC        

;  

2 2 2 . . ABC S AB AC AB AC     

o Thể tích khối hộp: ' ' ' '

' . , .AA ( ) ABCD A B C D V AB AD      

 

o Thể tích tứ diện: 1 , .AD ( ) 6 ABCD V AB AC        

4. Phương trình mặt cầu

Dạng 1:       2 2 2 2 x a y b z c R       (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.

Dạng 2: 2 2 2 2 2 2 0 x y z Ax By Cz D        (2) , với điều kiện

2 2 2 0 A B C D     là

phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính 2 2 2 R A B C D     . 5. Phương trình mặt phẳng

 Véc tơ 0 n   

vuông góc với mặt phẳng   được gọi là VTPT của mặt phẳng  .

 Nếu ,u v



là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng  thì ,u v n      

là một

VTPT của mặt phẳng  .

 Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì , AB AC n      

là một VTPT của mặt phẳng (ABC).

 Mặt phẳng   đi qua điểm 0 0 0 ( ; ; ) o M x y z và có VTPT   ; ; n A B C  

có phương trình

0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z       ( ) .

 Phương trình dạng 0 Ax By Cz D     được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT   ; ; n A B C  

.

6. Phương trình đường thẳng

Véc tơ 0 u 

 

có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  được gọi là VTCP của đường thẳng . Đường thẳng  đi qua điểm 0 0 0 ( ; ; ) o M x y z và có VTCP   ; ; u a b c  

, khi đó

+ Phương trình tham số là:

0

0

0

;( )

x x …