Đề thi tuyển sinh môn Toán

-Bộ đề thi vào trường chuyên-

1

Đề thi tuyển sinh

*Trường THPT Nguyễn Trãi

( Hải Dương 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)

Thời gian: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)

Cho biểu thức.

A =

1 4 4

2 4 2 2 4 2

2  

          

x x

x x x x

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên

Bài 2.( 3 điểm)

1) Gọi x và x là hai nghiệm của phương trình. 1 2 x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm các giá trị của m để: x 2+ x 2 +3 x .x (x + x ) đạt giá trị lớn nhất 1 2 1 2 1 2

2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh rằng phương trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài 3. ( 3 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. Tính tỉ số . AB BC

2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung trong ë C. Tính góc ACD.

Bài 4. ( 1 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức:

| | | b-c| 2 2 2 2 c a b a    

với a, b,c là các số thực bất kì.

ThuVienDeThi.com

-Bộ đề thi vào trường chuyên-

2

*Trường năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150ph)

Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 1 4 3

1 2

2

2

 

 

x x

x x

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x)

2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0

Bài 2. ( 2 điểm)

1) cho phương trình: (1) 0 2

6 3 )1 2 ( 2 2 2

 

   

x

m m x m x

a) Giải phương trình trên khi m = 3

2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x và x thoả mãn x +2 x 1 2 1 2 =16

2) Giải phương trình: 2 2

1 2 1 1

2     x x x

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x2+4y2 = 1

Chứng minh rằng: |x-y| 2

5 

2) Cho phân số : A= 5

4 2



 n n

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 sao cho A là phân số chưa tối giản 2004  n

Bài 4( 3 điểm) Cho hai đường tròn (0 ) và (0 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn 1 2 của hai đường tròn tiếp xúc với (0 ) tại A, tiếp xúc với (0 ) tại B. Tiếp tuyến của (0 ) tại P cắt (0 ) 1 2 1 2 tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đường tròn

2)Tam giác BPR cân

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.

Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

ThuVienDeThi.com

-Bộ đề thi vào trường chuyên-

3

Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút

) Câu 1. Cho phương trình x2 +px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a , a và 1 2 phương trình x2 +qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b ,b . Chứng minh: (a - b )( a 1 2 1 1 - b )( a + b . b +b ) = q2 - p2 2 1 1 1 2 2

Câu 2: cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn

x = by +cz

y = ax +cz

z = ax +by ; với x + y+z 0 

Chứng minh: 2 1

1 1

1 1

1       c b a

Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0

b) Cho các số dương x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1

Chứng minh: 2 1 1 1 2

2

2

2

2

2

      z

z

y

y

x

x

Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phương trình: x3-y3 = 1993.

ThuVienDeThi.com