Lời giải cuộc thi toán quốc tế giữa các thành phố lần thứ 37 khối trung học cơ sở cấp độ A, mùa thu 2015

1

KÌ THI TOÁN QUỐC TẾ GIỮA CÁC THÀNH PHỐ LẦN THỨ 37

Khối Trung học Cơ sở cấp độ A, Mùa thu 2015.

1. A grid polygon is called amazing if it is not a rectangle and several

its copies can form a polygon similar to it. For instance, a corner

consisting of three cells is an amazing polygon (see the figure on the

right).

Một đa giác đơn (hai cạnh bất kì hoặc không cắt nhau, hoặc cắt nhau

tại đỉnh) với các cạnh nằm trên đường kẻ của một lưới ô vuông được

gọi là kì diệu nếu nó không phải hình chữ nhật và ta có thể ghép một

số (lớn hơn 1) các bản sao của nó để thu được một đa giác đồng dạng

với chính nó. Ví dụ, đa giác dạng chữ L gồm 3 ô vuông đơn vị là kỳ

diệu (xem hình bên).

a) Find an amazing polygon consisting of 4 cells.

Tìm một đa giác kì diệu gồm 4 ô vuông đơn vị.

b) Determine all n > 4 such that there exists an amazing polygon consisting of n cells.

Xác định tất cả n > 4 sao cho tồn tại đa giác kỳ diệu gồm n hình vuông đơn vị.

a) Solution. For instance, see the figure below.

Lời giải. Ví dụ cho đa giác kì diệu gồm 4 ô vuông đơn vị.

b) Answer. All n>4.

Trả lời. Với mọi n > 4 đều tìm được đa giác kì diệu gồm n ô vuông đơn vị.

Solution. Consider a corner consisting of n cells, such that two its copies form a rectangle

2n (analogously to the figure above). Such rectangles can be arranged into a square 2n2n,

and such squares can be arranged into a corner similar to the original one (with factor 2n).

Lời giải. Với 2 đa giác gồm n ô vuông có dạng chữ L, chúng ta có thể tạo ra hình chữ nhật

gồm 2n ô vuông kích cỡ 2 x n (tương tự như với 4 ô vuông bên trên). Với 2n hình chữ nhật

đó ta có thể xếp thành hình vuông cỡ 2n x 2n. Khi ấy với các hình vuông 2n x 2n có thể xếp

thành đa giác có dạng giống như đa giác ban đầu.

ThuVienDeThi.com

2

2. A set consists of all integers from 1 to 100 except some k integers. Is it always

possible to choose k distinct integers in this set so that their sum equals 100 if:

a) k = 9;

b) k = 8?

Một tập hợp gồm có các số nguyên từ 1 đến 100 bỏ đi k số nguyên nào đó. Hỏi có phải luôn

chọn được k số phân biệt từ tập này có tổng bằng 100 nếu:

a) k = 9;

b) k = 8?

a) Answer. No, not always.

a) Đáp án. Không, không phải lúc nào cũng có thể.

Solution. Remove 1, 2, ..., 9. Then even the sum of nine minimal remaining integers exceeds

100: 10 + 11 + ... + 18 = 126.

Lời giải. Loại bỏ các số 1, 2, …, 9. Khi đó tổng của 9 số nhỏ nhất lớn hơn 100 nên không tồn

tại bộ 9 số có tổng là 100: 10 + 11 + 12 + … + 18 = 126.

b) Answer. Yes, it is.

b) Đáp án. Luôn chọn được bộ số thỏa mãn.

Solution. Consider 12 pairs of integers such that the sum of each pair is 25: (1, 24), (2, 23),

..., (12, 13). After removal of 8 integers, at least 4 pairs are saved. Total sum of these is 100.

Lời giải. Xét 12 cặp số tự nhiên có tổng là 25: (1, 24), (2, 23), …, (12, 13). Khi loại bỏ 8 số

nguyên dương, chúng ta còn ít nhất 4 cặp số mà tổng của chúng luôn bằng 100.

3. Prove that the sum of lengths of any two medians in an arbitrary triangle is

[3] a) not greater than 3P/4 where P is the perimeter of this triangle;

[5] b) not less than 3p/4 where p is the semiperimeter of this triangle.

Chứng minh rằng tổng độ dài hai đường trung tuyến của một tam giác luôn

a) không lớn hơn 3P/4 trong đó P là chu vi của tam giác.

b) không bé hơn 3p/4 trong đó p là nửa chu vi tam giác.

ThuVienDeThi.com