Đề thi toán quốc tế giữa các thành phố lần thứ 37 khối trung học cơ sở, kỳ thi cấp độ O, mùa thu 2015

KỲTHI TOÁN QUỐC TẾGIỮA CÁC THÀNH PHỐLẦN THỨ37 Khối Trung học Cơ sở, Kỳthi cấp độO, Mùa thu 2015 Hà Nội, ngày 11/10/2015 (Kết quảđược tính bằng tổng điểm của ba bài có điểm cao nhất, điểm của bài có nhiều ý bằng tổng điểm của các ý thành phần.)

điểm đềbài

4 1. Điều khẳng định sau đây đúng hay sai: Tất cảmọi sốnguyên dương đều có thểnhân với một trong các sốtựnhiên 1, 2, 3, 4 hoặc 5 đểsốnhận được có biểu diễn thập phân bắt đầu bằng chữsố1?

4

2. Một hình chữnhật được chia thành các tam giác vuông không cân và bằng nhau và không giao nhau (nghĩa là hai tam giác bất kì hoặc rời nhau, hoặc điểm chung nhau phải là đỉnh hoặc nằm trên cạnh). Hỏi có phải trong mọi cách phân chia như vậy đều chứa một hình chữnhật ghép bởi đúng hai tam giác?

5

3. Ba người chơi trò chơi Oẳn tù tì. Mỗi lượt, mỗi người chơi ra một trong ba loại: đấm, lá hoặc kéo. Biết rằng người ra đấm thắng người ra kéo, người ra kéo thắng người ra lá và người ra lá thắng người ra đấm. Nếu trong một vòng, chỉcó đúng hai trong ba loại đấm, lá hoặc kéo được ra thì mỗi người thắng cuộc được thêm một điểm. Trong các trường hợp khác, không ai được thêm điểm. Ví dụ: nếu ba người ra đấm, đấm, kéo thì hai người đầu mỗi người được thêm một điểm; nếu ba người ra đấm, kéo, kéo thì chỉcó người đầu tiên được thêm một điểm; còn nếu ba người ra đấm, kéo, lá hoặc đấm, đấm, đấm thì không ai được thêm điểm. Sau một vài vòng, ba người chơi nhận thấy tổng cộng mỗi loại đấm, lá và kéo đã được ra một sốlần bằng nhau. Chứng minh rằng tại thời điểm đó, tổng sốđiểm của ba người chơi là một sốchia hết cho 3.

5 4. Trong tam giác vuông ABC (∠C = 90◦), các điểm K, L và M lần lượt nằm trên các cạnh AC, BC và AB sao cho AK = BL = a, KM = LM = b và ∠KML = 90◦. Chứng minh rằng a = b.

5. Trong một vương quốc có 100 thành phố. Giữa hai thành phốbất kỳcó một đường bay thẳng (theo cảhai chiều). Giá vé của mỗi chuyến bay là một sốdương (không nhất thiết phải nguyên) đồng tiền vàng. Thêm vào đó giá vé chiều đi và chiều vềgiữa hai thành phốlà như nhau. Biết rằng, giá vé trung bình của tất cảcác đường bay là 1 đồng tiền vàng. Một khách du lịch muốn đi thăm m thành phốbất kì bằng m chuyến bay, bắt đầu và kết thúc từthành phốanh ta sống (là một trong m thành phố) nhưng chỉtiêu tối đa là m đồng tiền vàng. Hỏi người khách du lịch có thể luôn thực hiện được kếhoạch của mình không nếu 3 a) m = 99; 3 b) m = 100?

ThuVienDeThi.com

KỲTHI TOÁN QUỐC TẾGIỮA CÁC THÀNH PHỐLẦN THỨ37 Khối Trung học Phổthông, Kỳthi cấp độO, Mùa thu 2015 Hà Nội, ngày 11/10/2015 (Kết quảđược tính bằng tổng điểm của ba bài có điểm cao nhất, điểm của bài có nhiều ý bằng tổng điểm của các ý thành phần.)

điểm đềbài

3 1. Cho p là một sốnguyên tố. Hỏi có bao nhiêu sốnguyên dương n sao cho pn là bội của p + n?

4

2. Cho ABC và ABD là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AB (hai điểm D và C nằm cùng phía so với đường thẳng AB). Biết rằng AC = BC và DK là phân giác của góc ADB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACK nằm trên đường thẳng AD.

4

3. Ba người chơi trò chơi Oẳn tù tì. Mỗi lượt, mỗi người chơi ra một trong ba loại: đấm, lá hoặc kéo. Biết rằng người ra đấm thắng người ra kéo, người ra kéo thắng người ra lá và người ra lá thắng người ra đấm. Nếu trong một vòng, chỉcó đúng hai trong ba loại đấm, lá hoặc kéo được ra thì mỗi người thắng cuộc được thêm một điểm. Trong các trường hợp khác, không ai được thêm điểm. Ví dụ: nếu ba người ra đấm, đấm, kéo thì hai người đầu mỗi người được thêm một điểm; nếu ba người ra đấm, kéo, kéo thì chỉcó người đầu tiên được thêm một điểm; còn nếu ba người ra đấm, kéo, lá hoặc đấm, đấm, đấm thì không ai được thêm điểm. Sau một vài vòng, ba người chơi nhận thấy tổng cộng mỗi loại đấm, lá và kéo đã được ra một sốlần bằng nhau. Chứng minh rằng tại thời điểm đó, tổng sốđiểm của ba người chơi là một sốchia hết cho 3.

4. Trong một vương quốc có 100 thành phố. Giữa hai thành phốbất kỳcó một đường bay thẳng (theo cảhai chiều). Giá vé của mỗi chuyến bay là một sốdương (không nhất thiết phải nguyên) …