Cuộc thi toán quốc tế giữa các thành phố lần thứ 37 khối trung học cơ sở cấp độ A, mùa thu 2015

CU￿C THI TOÁN QU￿C T￿GI￿A CÁC THÀNH PH￿L￿N TH￿37 Kh￿i Trung h￿c Cơ s￿c￿p đ￿A, Mùa thu 2015. Hà N￿i, ngày 25/10/2015 (K￿t qu￿đư￿c tính b￿ng t￿ng đi￿m c￿a ba bài có đi￿m cao nh￿t, đi￿m c￿a bài có nhi￿u ý b￿ng t￿ng đi￿m c￿a các ý thành ph￿n.)

đi￿m đ￿bài

1. M￿t đa giác đơn (hai c￿nh b￿t kỳho￿c không c￿t nhau, ho￿c c￿t nhau t￿i đ￿nh) v￿i các c￿nh n￿m trên đư￿ng k￿c￿a m￿t lư￿i ô vuông đư￿c g￿i là kỳdi￿u n￿u nó không ph￿i hình ch￿nh￿t và ta có th￿ghép m￿t s￿(l￿n hơn 1) các b￿n sao c￿a nó đ￿thu đư￿c m￿t đa giác đ￿ng d￿ng v￿i chính nó. Ví d￿, đa giác d￿ng ch￿L g￿m 3 ô vuông đơn v￿là kỳdi￿u (xem hình v￿bên ph￿i). 2 a) Tìm m￿t đa giác kỳdi￿u g￿m 4 ô vuông đơn v￿. 3 b) Xác đ￿nh t￿t c￿n > 4 sao cho t￿n t￿i đa giác kỳdi￿u g￿m n ô vuông đơn v￿.

2. M￿t t￿p h￿p g￿m có các s￿nguyên t￿1 đ￿n 100 b￿đi k s￿nguyên nào đó. H￿i có ph￿i luôn ch￿n đư￿c k s￿phân bi￿t t￿t￿p này có t￿ng b￿ng 100 n￿u 2 a) k = 9; 4 b) k = 8?

3. Ch￿ng minh r￿ng t￿ng đ￿dài hai đư￿ng trung tuy￿n c￿a m￿t tam giác luôn 3 a) không vư￿t quá 3P/4 trong đó P là chu vi c￿a tam giác; 5 b) không bé hơn 3p/4 trong đó p là n￿a chu vi c￿a tam giác.

8

4. Lư￿i ô vuông kích thư￿c 9 × 9 đư￿c x￿p t￿các que diêm sao cho m￿i ô có các c￿nh là các que diêm và hai ô chung c￿nh chung nhau đúng m￿t que diêm. Pete và Basil l￿n lư￿t l￿y đi t￿ng que diêm. Ngư￿i th￿ng là ngư￿i mà sau lư￿t đi c￿a anh ta s￿không còn l￿i ô vuông 1 × 1 nào. H￿i ai trong s￿hai ngư￿i chơi có chi￿n thu￿t đ￿đ￿m b￿o luôn giành đư￿c chi￿n th￿ng?

8

5. Tam giác ABC có các đư￿ng trung tuy￿n AA0, BB0 và CC0 c￿t nhau t￿i đi￿m M. G￿i P, Q, R, T l￿n lư￿t là tâm đư￿ng tròn ngo￿i ti￿p các tam giác MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0. Ch￿ng minh r￿ng các đi￿m P, Q, R, T, M cùng n￿m trên m￿t đư￿ng tròn.

6. Trên b￿ng đen cho trư￿c m￿t s￿s￿th￿c phân bi￿t. Peter mu￿n vi￿t m￿t bi￿u th￿c có t￿p giá tr￿là t￿p các s￿trên b￿ng. Peter có th￿s￿d￿ng các s￿th￿c b￿t kỳkèm theo d￿u ngo￿c và các phép toán +, −, ×. Peter cũng có th￿s￿d￿ng phép toán đ￿c bi￿t ± đ￿kí hi￿u phép + ho￿c −. Ví d￿, bi￿u th￿c 5 ± 1 có t￿p giá tr￿là {4, 6}, và bi￿u th￿c (2 ± 0,5) ± 0,5 có t￿p giá tr￿là {1, 2, 3}. H￿i Peter có th￿vi￿t đư￿c bi￿u th￿c đó hay không n￿u: 3 a) các s￿trên b￿ng là 1, 2, 4; 7 b) các s￿trên b￿ng là 100 s￿th￿c phân bi￿t b￿t kỳ?

10

7. Ông già Nô-en có n lo￿i k￿o, m￿i lo￿i có k chi￿c. Ông chia chúng ng￿u nhiên vào k túi quà, m￿i túi có n chi￿c và t￿ng cho k đ￿a tr￿, m￿i đ￿a m￿t túi. Lũ tr￿ nhanh chóng khám phá ra nh￿ng gì có trong túi và quy￿t đ￿nh trao đ￿i k￿o. M￿i lư￿t trao đ￿i g￿m có hai đ￿a tr￿, m￿i đ￿a l￿y m￿t chi￿c trong túi và đ￿i l￿y chi￿c k￿o thu￿c lo￿i mà nó chưa có. H￿i có ph￿i luôn t￿n t￿i m￿t cách s￿p x￿p các lư￿t trao đ￿i đ￿m￿i đ￿a tr￿đ￿u có t￿t c￿các lo￿i k￿o?

ThuVienDeThi.com

INTERNATIONAL MATHEMATICS TOURNAMENT OF TOWNS Junior A-Level Paper, Fall 2015. Hanoi, 25/10/2015 (The result is computed from the three problems with the highest scores, the scores for the

individual parts of a single problem are summed up.)

points problems

1. A grid polygon is called amazing if it is not a rectangle and several its copies can form a polygon similar to it. For instance, a corner consisting of three cells is an amazing polygon (see the figure on the right). 2 a) Find an amazing polygon consisting of 4 cells.

3 b) Determine all n > 4 such that there exists an amazing polygon consisting of n cells.

2. A set consists of all integers from 1 to 100 except some k integers. Is it always possible to choose k distinct integers in this set so that their sum equals 100 if 2 a) k = 9; 4 b) k = 8?

3. Prove that the sum of lengths of any two medians in an arbitrary triangle is 3 a) not greater than 3P/4 where P is the perimeter of this triangle; 5 b) not less than 3p/4 where p is the semiperimeter of this triangle.

8

4. A 9 × 9 grid square is made of matches, every cell side consists of a single match, and any two adjacent cells share exactly one match. Pete and Basil in turn remove matches one by one. A player wins if there remains no entire 1 × 1 square after his …