Toán - Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC

Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Phương trình bậc 2 hai ẩn

3. Phương trình bậc cao hai ẩn

4. Phương trình đa thức nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn

- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.

- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1

- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Ví dụ 1:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

11x+18y=120

Giải:

ThuVienDeThi.com

Ta thấy 11x⋮6 nên x⋮6. Đặt x=6k (k nguyên).

Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k+3y=20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:

y=20−11k3

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:

y=7−4k+k−13

Lại đặt k−13 =t với t nguyên suy ra k=3t+1. Do đó:

=7−4(3t+1)+t=3−11tx=6k=6(3t+1)=18t+6

Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.

Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:

{=18t+6y=3−11t với t là số nguyên tùy ý

2. Phương trình bậc 2 hai ẩn

Ví dụ 2:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

5x–3y=2xy–11

Giải:

Biểu thị y theo x:

(2x+3)y=5x+11

Dễ thấy 2x+3≠0 (vì x nguyên ) do đó:

y=5x+112x+3=2+x+52x+3

Để y∈Zphải có x+5⋮2x+3

ThuVienDeThi.com

⇒2(x+5)⋮2x+3

⇒2x+3+7⋮2x+3

⇒7⋮2x+3

Nên (x,y)=(−1,6),(−2,−1),(2,3),(−5,2)

Thử lại các cặp giá trị trên của (x,y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Ví dụ 3:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x2−2x−11=y2

Giải:

Cách 1: Đưa về phương trình ước số:

x2−2x+1−12=y2

⇔(x−1)2−y2=12

⇔(x−1+y)(x−1−y)=12

Ta có các nhận xét:

Vì (1) chứa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y⩾0.

Thế thì x−1+y⩾x−1−y

(x−1+y)−(x−1−y)=2y nên x−1+yvà x−1−y cùng tính chẵn lẻ.

Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.

Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:

(x−1+y,x−1−y)=(6,2),(−2,6)

Do đó: (x,y)=(5,2),(−3,2)

Đáp số: (5;2),(5;−2),(−3;2),(−3;−2)

ThuVienDeThi.com

Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

x2−2x−(11+y2)=0

Δ′=1+11+y2=12+y2

Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:

Δ′ là số chính phương ⇔12+y2=k2(k∈N)

⇔k2−y2=12⇔(k+y)(k−y)=12

Giả sử y⩾0 thì k+y ⩾k–y và k+y⩾ 0

(k+y)–(k–y)=2y nên k+y và k–y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.

Từ các nhận xét trên ta có:

{+y=6k−y=2

Do đó: y=2

Thay vào (2): x2−2x−15=0

⇒x1=5,x2=−3

Ta có bốn nghiệm: (5;2),(5;−2),(−3;−2),(−3;2)

Ví dụ 4:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x2+2y2+3xy−x−y+3=0 (1)

Giải:

Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

x2+(3y−1)x+(2y2−y+3)=0 (2)

Δ=(3y−1)2−4(2y2−y+3)=y2−2y−11

ThuVienDeThi.com

Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là Δ là số chính phương

⇔y2−2y−11=k2(k∈N) (3)

Giải (3) với nghiệm nguyên ta được y1=5,y2=−3

Với y=5 thay vào (2) được x2+14x+48=0. Ta có: x1=−8,x2=−6

Với y=−3 thay vào (2) được x2−10x+24=0. Ta có x3=6,x4=4

Đáp số: (−8;5),(−6;5),(6;−3),(4;−3)

3. Phương trình bậc cao hai ẩn

Ví dụ 5:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x(x+1)(x+2)(x+3)=y2 (1)

Giải:

Nếu y thỏa mãn phương trình thì –y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử y⩾0

(1) ⇔(x2+3x)(x2+3x+2)=y2

Đặt x2+3x+2+1=a, ta được:

(a−1)(a+1)=y2⇔a2−1=y2

⇔(a+y)(a−y)=1

Suy ra a+y=a–y, do đó y=0

Thay vào (1) được: x1=0;x2=−1;x3=−2;x4=−3

Đáp số: (0;0),(−1;0),(−2;0),(−3;0)

Ví dụ 6:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

ThuVienDeThi.com