Xem trước nội dung
CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1
Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 1
CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
• limun = a ∈° ⇔∀ε > 0,∃n0 | un −a < ε,∀n ≥n0.
• limun = +∞⇔∀ε > 0,∃n0 |un > ε,∀n ≥n0.
• limun = −∞⇔∀ε < 0,∃n0 |un < ε,∀n ≥n0.
Câu 1. Chứng minh lim n n = 0. Giải. Ta có
n = 1+ ( n n −1) ⎡⎣ ⎤⎦
n
= Cn
0 + Cn
1( n n −1) + Cn
2( n n −1)2 +...+ Cn
n( n n −1)n
> Cn
2( n n −1)2 ⇒( n n −1)2 < 2 n −1 ⇒ n n −1< 2
n −1
.
Do đó ∀ε > 0,chọn số tự nhiên n0 sao cho 2
n0 −1
< ε ⇔n0 > 4
ε 2 +1⇒n0 = 4 ε 2 +1 ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+1.
Khi đó n n −1< 2
n −1
≤ 2
n0 −1
< ε,∀n ≥n0 ⇒lim n n = 1.
Câu 2. Cho dãy số (un) thoả mãn lim(un+1 −tun) = 0, với mọi −1< t <1. Chứng minh limun = 0.
Giải. Theo giả thiết, với mọi ε > 0,tồn tại số tự nhiên n0 sao cho un+1 −tun < ε,∀n ≥n0. Khi đó
un+1 = (un+1 −tun) + t(un −tun−1) +...+ t
n−n0(un0+1 −tun0 ) + t
n−n0+1un0
≤un+1 −tun + t(un −tun−1) + t
n−n0(un0+1 −tun0 ) + t
n−n0+1un0
≤ε + t ε + t
n−n0 ε + t
n−n0+1un0
=
1−t
n−n0+1
1−t ε + t
n−n0+1un0 < ε 1−t + t
n−n0+1un0 .
Do limt
n−n0+1un0 = 0 ⇒∃n1sao cho t
n−n0+1un0 < ε,∀n ≥n1.
Vì vậy với n2 = max n0,n1 { }, ta có
un+1 < ε 1−t + ε = 1+ 1 1−t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ε,∀n ≥n2 ⇒limun = 0.
Câu 3. Cho dãy số (un) thoả mãn lim un+1 + 1
4 un ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟= 2017. Tìm limun.
Giải. Theo giả thiết, ∀ε > 0,∃n0 sao cho un+1 + 1
4 un −2017 < ε,∀n ≥n0.
Khi đó sử dụng bất đẳng thức a + b ≥a −b , ta có
ThuVienDeThi.com
2 CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
2 Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202
un+1 −4.2017
5 −1
4 un −4.2017
5 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟≤ un+1 −4.2017
5 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟+ 1
4 un −4.2017
5 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟< ε
⇒un+1 −4.2017
5 ≤1
4 un −4.2017
5 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟+ ε ≤ 1 4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n−n0+1
un0 −4.2017
5 + ε + 1
4 ε +...+ 1
4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n0
ε
⇒un+1 −4.2017
5 ≤ 1 4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n−n0+1
un0 −4.2017
5 +
1−1
4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n0+1
1−1
4
ε < 4
3ε + 1
4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n−n0+1
un0 −4.2017
5 .
Vì lim 1
4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n−n0+1
un0 −4.2017
5 = 0 ⇒∃n1 | 1
4 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n−n0+1
un0 −4.2017
5 < ε.
Vì vậy với n2 = max n0,n1 { }, ta có
un+1 −4.2017
5 < ε + 4
3ε = 7
3ε,∀n ≥n2 ⇒limun = 4.2017
5 .
Câu 4. Chứng minh lim 1
n! n = 0.
Giải. Quy nạp ta có, n!> n 3 ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
n
⇒1
n! n < 3
n →0 ⇒lim 1
n! n = 0.
Câu 5. Cho dãy số (un) bị chặn trên và 2un+2 ≤un+1 + un,∀n ≥1.
Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn.
Câu 6. Xét số thực 0 < p <1, cho dãy số (un),(vn) không âm và limvn = 0 thoả mãn
un+1 ≤pun + vn,∀n ≥1.
Chứng minh rằng limun = 0.
Giải. Theo giả thiết, ta có ∀ε,∃n0 | vn < ε,∀n ≥n0.
un+1 ≤pun + vn ≤p
n−n0+1un0 + vn + pvn−1 +...+ p
n0vn0
< p
n−n0+1un0 + ε + pε +...+ p
n0ε = p
n−n0+1un0 + 1−p
n0+1
1−p ε
< ε 1−p + p
n−n0+1un0,∀n ≥n0.
Vì lim p
n−n0+1un0 = 0 ⇒∃n1 | p
n−n0+1un0 < ε, vì vậy
un+1 < ε + ε 1−p = 1+ 1 1−p ⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟ε,∀n ≥max n0,n1 { }.
Từ đó suy ra limun = 0.
ThuVienDeThi.com
CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA 3
Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 3
Câu 7. Cho số thực a ≥−1
10 , chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi:
u1 = a,un+1 = 1
2 + 2n + 3
n +1 un + 1
4 ,∀n ≥1
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
(Trích đề thi hsg quốc gia 2017)
Giải. Với a ≥−1
10 , dãy số đã cho hoàn toàn xác định.
Khi đó, ta có
un+1 −3 = 2n + 3
n +1 un + 1
4 −5
2 =
2n + 3
n +1 un −6
2n + 3
n +1 un + 1
4 + 5
2
=
2n + 3
n +1 (un −3) + 3 n +1 2n + 3
n +1 un + 1
4 + 5
2
≤
2n + 3
n +1 (un −3)
2n + 3
n +1 un + 1
4 + 5
2
+
3 n +1 2n + 3
n +1 un + 1
4 + 5
2
≤5
6 un −3 + 1 n +1,∀n ≥1.
Áp dụng bổ đề trong bài 6, ta có điều phải chứng minh và limun = 3.
*Chú ý: Số 3 được tìm ra bằng cách lấy giới hạn hai vế của un+1 = 1 2 + 2n + 3
n +1 un + 1
4.
Câu 8. Chứng minh với mọi a ∈[0;1], dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 3,un+1 = 1
2 un + n2
4n2 + a un
2 + 3,∀n ≥1.
có giới hạn hữu hạn.
(Trích đề thi hsg quốc gia 2015) Giải. Ta có
un+1 −1 = 1
2 un −1 ( )+ n2
4n2 + a ( un
2 + 3 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
