Lý thuyết môn Toán luyện thi đại học

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC

I. Tam thức bậc hai:

x, 2 ax bx c 0   

a b 0

c 0

a 0

0

              

x, 2 ax bx c 0   

a b 0

c 0

a 0

0

              

 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 Giả sử phương trình có 2 nghiệm 1 2 x ;x thì:

1 2

b S x x ; a    1 2

c P x .x a  

 Pt có 2 nghiệm phân biệt a 0

0    

 Pt có nghiệm kép a 0

0    

 Pt vô nghiệm

a 0 a 0 b 0 0 c 0

            

 Pt có 2 nghiệm trái dấu P 0  

 Pt có 2 nghiệm cùng dấu 0 P 0     

 Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương

0 P 0 S 0

       

 Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm

0 P 0 S 0

       

II. Đa thức bậc ba:  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 Giả sử phương trình có 3 nghiệm 1 2 3 x ;x ;x thì:

1 2 3

b S x x x ; a     1 2 2 3 3 1

c x .x x .x x .x ; a   

1 2 3

d P x .x .x a  

III. Đạo hàm:

BẢNG ĐẠO HÀM

(kx)' k  (ku)' k.u' 

1 (x )' .x    1 (u )' .u'.u .

   

1 ( x)'

2 x  u ' ( u)'

2 u 

'

2 1 1 x x       

'

2 1 u ' u u      

(sin x)' cosx  (sinu)' u'.cosu 

(cosx)' sin x  (cosu)' u'.sinu 

2 1 (tan x)' cos x  2 u' (tan u)' cos u 

2 1 (cot x)' sin x

  2 u' (cot u)' sin u

 

x x (e )' e  u u (e )' u'.e 

1 (ln x)' x  u' (ln u)' u 

  a

1 log x ' xlna    a

u' log u ' ulna 

x x (a )' a .lna  u u (a )' u'.a .lna 

Quy tắc tính đạo hàm

(u  v) = u  v (uv) = uv + vu

2 u u v v u v v

        (v  0) x u x y y .u  

Đạo hàm của một số hàm thông dụng

1.

 

2 ax b ad bc y y' cx d cx d

      

2.

 

2 2

2 ax bx c adx 2aex be cd y y' dx e dx e

         

ThuVienDeThi.com

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 2

Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT

HÀM SỐ.

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.  Xét sự biến thiên của hàm số:

o Tính y. o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.

o Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.  Vẽ đồ thị của hàm số:

o Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). – Tính y. – Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.

o Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.

o Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.

o Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

2. Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d (a 0)      :

 Tập xác định D = R.  Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn

làm tâm đối xứng.

 Các dạng đồ thị:

y‟ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 D‟ = b2 – 3ac > 0

a > 0 a < 0

y‟ = 0 có nghiệm kép  D‟ = b2 – 3ac = 0

a > 0 a < 0

y‟ = 0 vô nghiệm  D‟ = b2 – 3ac < 0

a > 0 a < 0

3. Hàm số trùng phƣơng

4 2 y ax bx c (a 0)     :

 Tập xác định D = R.  Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Các dạng đồ thị:

y‟ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  ab < 0

a > 0 a < 0

y‟ = 0 có 1 nghiệm phân biệt  ab > 0

a > 0 a < 0

4. Hàm số nhất biến

ax b y (c 0,ad bc 0) cx d       :

 Tập xác định D = 

d R \ c  .

y

x 0

I

y

x 0

I

y

x 0 I

y

x 0

I

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 55

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

2. Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x 2y z 3 0   sao cho MA=MB=MC.

Câu IV:

1. Tính tích phân

4

0

sin x dx 4 I sin2x+2(1+sinx+cosx)

         

2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2(x 6xy) P 1 2xy 2y   

Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban) 1. Chứng minh …