Toán - Tích phân luyện thi Đại học

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970

1

TÍCH PHÂN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN

0909 230 970 108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình.

ThuVienDeThi.com

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970

2

TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 1

Để tính tích phân

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx  ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx  . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)        .

Bước 3.

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt



    .

Ví dụ 7. Tính tích phân

2 e

e

dx I x ln x  .

Giải

Đặt dx t ln x dt x    .ĐỔI CẬN : 2 x e t 1, x e t 2      

2

2 1 1

dt I ln t ln 2 t      . Vậy I ln 2  .

Ví dụ 8. Tính tích phân

4

3 0

cos x I dx (sin x cos x)



   .

Hướng dẫn:

4 4

3 3 2 0 0

cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x

 

      . Đặt t tan x 1   ;ĐS: 3 I 8  .

Ví dụ 9. Tính tích phân

3

1 2

dx I (1 x) 2x 3     .

Hướng dẫn:

Đặt t 2x 3   ĐS: 3 I ln 2  .

Ví dụ 10. Tính tích phân

1

0

3 x I dx 1 x     .

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2 2 1

3 x t dt t 8 1 x (t 1)        ; đặt t tan u  

ĐS: I 3 2 3     .

ThuVienDeThi.com

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970

3

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x I dx 1 x     , rồi đặt t 1 x   sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )

b

a

f x dx  ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( ) dx u t dt  . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t         .

Bước 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

 

       .

Ví dụ 1. Tính tích phân

1 2

2 0

1 I dx 1 x 

  .

Giải

Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2            

ĐỔI CẬN : 1 x 0 t 0, x t 2 6       

6 6

2 0 0

cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t

 

     

6

6 0

0

dt t 0 6 6



         . Vậy I 6   .

Ví dụ 2. Tính tích phân

2

2

0 I 4 x dx    .

Hướng dẫn: Đặt x 2 sin t  ĐS: I .

Ví dụ 3. Tính tích phân

1

2 0

dx I 1 x    .

Giải

Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2

              

x 0 t 0, x 1 t 4       

4 4 2

2 0 0

tan t 1 I dt dt

4 1 tan t

           . Vậy I 4   .

Ví dụ 4. Tính tích phân

3 1

2 0

dx I x 2x 2

     .

Hướng dẫn:

ThuVienDeThi.com

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970

4

3 1 3 1

2 2 0 0

dx dx I x 2x 2 1 (x 1)

          . Đặt x 1 tan t   ; ĐS: I 12

  .

Ví dụ 5. Tính tích phân

2

2 0

dx I

4 x 

  . ĐS: I 2   .

Ví dụ 6. Tính tích phân

3 1

2 0

dx I x 2x 2

     . ĐS: I 12

  .

3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2

2 3

0 I cos x sin xdx



 .

Hướng dẫn:

Đặt t cos x  ĐS: 2 I 15  .

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

2

5

0 I cos xdx



 .

Hướng dẫn:

Đặt t sin x  ĐS: 8 I 15  .

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân

2

4 2

0 I cos x sin xdx



 .

Giải

2 2 4 2 2 2

0 0

1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4

 

   

2 2

2

0 0

1 1 (1 cos 4x)dx cos2x sin 2xdx 16 4

 

    

2 2

2

0 0

1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8

 

    

3 2

0

x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32

               .

Vậy I 32

  .

Ví dụ 14. Tính tích phân

2

0

dx I cos x sin x 1



    .

Hướng dẫn:

Đặt x t tan

2  . ĐS: I ln 2  .

ThuVienDeThi.com