Toán - Phương pháp chứng minh qui nạp toán học

Phương pháp chứng minh qui nạp toán học. Bài tập 1: Bạn hãy trình bày các bước của phương pháp chứng minh qui nạp. Giải: Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên , 0 n n  người ta thường dùng phương pháp chứng minh qui nạp toán học. Phương pháp này được tiến hành theo ba bước như sau:

Bước 1: Chứng minh A(n0) là đúng. Bước 2: Giả sử A(k) là đúng với số tự nhiên tùy ý , ta chứng minh A(k+1) là đúng. Bước 3: Kết luận A(n) là đúng với mọi số tự nhiên . 0 n n  Bài tập 2: Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng: a) . 2 , n n n  A

b) , n= 1,2,3,.... 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n      

Giải: a) Bước 1: Với n = 0, ta có: Vậy đúng với n=0. 0 2 1 0.  2n n  Bước 2: Giả sử . 2k k  Suy ra 1 2 2 .2 2 2 1. k k k k k      Bước 3: Vậy . 2 , n n n  A

b) Bước1: Với n=1, ta có: . 2 1(1 1)(2 1) 1 6   

Vậy đúng với n=1. 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n      

Bước 2: Giả sử . 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 k k k k      

Suy ra: 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... ( 1) ( 1) 6 k k k k k k          

2 (2 1) ( 1)(2 7 6) ( 1)( 2)(2 3) ( 1) ( 1) 6 6 6 k k k k k k k k k k                   

Bước 3: Vậy đúng với n=1,2,3,… 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n      

ThuVienDeThi.com