Toán - Phương trình nghiệm nguyên

Bài 1: Tồn tại hay không các số nguyên tố a,b,c sao cho: ab+2011=c Bài 2: Tìm 2011 số nguyên tố sao cho tích các số nguyên tố này bằng tổng các lũy thừa bậc 2010 của chúng

Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

2 2 2 3 3 0 x y xy x y      

Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

2 1 2 1 y x x x x      

Bài 5 : Tìm các số nguyên không âm x, y sao cho :

2 2 1 x y y   

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

2 3 x y z   

Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x x x x y    

Bài 8: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương. 4y

ThuVienDeThi.com

Bài 1: ab+2001=c Nếu c=2 loại c>2 nên c lẻ hay ab chẵn Suy ra a=2 do vậy 2b+2011 nguyên tố Nếu b=2 suy ra 4+2011=2015 loại Nếu b>2 nên b=2k+1→22k+1+2011≡0(mod3) loại Vậy không tồn tại a,b,c thỏa đề

Bài 2: Gọi các số nguyên tố là a1,a2,...,a2011 (chú ý 2011P) Suy ra a20111+a20112+...+a20112011=a1.a2....a2011 Nếu trong các số trên không có số nào là 2011 suy ra theo định lý Fermat nhỏ Vt≡0(mod2011) Do vậy 2011|VP nên có một số số chia hết cho 2011 và giả sử có k (k>0) số không chia hết cho 2011 với 0<k<2011 Suy ra áp dụng Fermat nhỏ VT≡k(mod2011) mà k<2011→k không chia hết cho 2011 do vậy k=0 suy ra a1=a2=...=a2011=2011 Vậy có các nghiệm là (a1,a2,...,a2011)=(2011,2011,...,2011)

Bài 3:

Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

(2) 2 2 (3 1) (2 3) 0 x y x y y      

2 2 2 (3 1) 4(2 3) 2 11 y y y y y         A

Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương A

ThuVienDeThi.com

(3) 2 2 2 11 ( ) y y k k     A

Giải (3) với nghiệm nguyên ta được 1 2 5, 3 y y  

Với y = 5 thay vào (2) được . Ta có: 2 14 48 0 x x    1 2 8, 6 x x  

Với y = -3 thay vào (2) được . Ta có 2 10 24 0 x x    3 4 6, 4 x x  

Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)

Bài 4

Điều kiện: 1 x 

( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 1 y x x x x        

| 1 1| | 1 1| x x    

1 1 | 1 1| x x   

Xét hai trương hợp:

a) Với x = 1 thì y =2. b) Với thì 2 x  1 1 1 1 2 1 y x x x     Do đó: . Do nên có thể đặt x – 1 = với t nguyên dương. 2 4( 1) y x   2 x  2t

Ta có:

2 1

2

x t

y t

     

Kếtt luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), ( ; 2t) với t là số nguyên dương 2 1 t  tùy ý.

Bài 5

Nếu y = 0 thì x = 1

Nếu y 1 thì từ phương trình đã cho ta suy ra y < x < y + 1, vô lí 

Bài 6

ThuVienDeThi.com

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử Từ phương trình đã cho ta suy ra . y z 

Suy ra 2 3 2 . x y z yz    

(1) 2 ( ) 4 3( ) 4 12. x y z x y z yz       

Vì là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra : 3

x – y – z = 4yz – 12 = 0 yz = 3 y = 3, z = 1 và x = y + z =4  

Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)

Bài 7 :

Giải:

Ta có: 0, 0 x y  

Bình phương hai vế rồi chuyển vế:

2 ( ) x x x y x k k      A

Bình phương hai vế rồi chuyển vế:

2 ( ) x x k x m m     A

Bình phương hai vế:

2 x x m  

Ta biết rằng với x nguyên thì hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Do x 2 x x m   nên không là số vô tỉ. Do đó là số nguyên và là số tự nhiên. ( ) mA x x

Ta có: 2 ( 1) x x m  

Hai số tự nhiên liên tiếp và có tích là số chính phương nên số nhỏ bằng x 1 x  0:

= 0 x

Suy ra: x = 0; y = 0 thỏa mãn phương trình đã cho.

ThuVienDeThi.com