Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Tọa độ của véctơ

Cho hệ tọa độ Oxyz và . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực u



(x, y, z) sao cho . Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ . . . u x i y j z k       

của và kí hiệu là : hoặc u



( ; ; ) u x y z  

( ; ; ) u x y z



Vậy : ( ; ; ) u x y z  

. . . u x i y j z k        

Từ định nghĩa trên ta suy ra : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), 0 (0;0;0) i j k        

II. Tọa độ của điểm

Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là OM



tọa độ của điểm và kí hiệu là hoặc nếu : . ( ; ; ) M x y z  ( ; ; ) M x y z . . . OM x i y j z k       

Vậy theo định nghĩa trên, ta có :  (0;0;0) O  ( ;0;0) M Ox M x    (0; ;0) M Oy M y    (0;0; ) M Oz M z  

( ) ( ; ;0) M Oxy M x y    ( ) ( ;0; ) M Oxz M x z    ( ) (0; ; ) M Oyz M y z   

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó 1 2 3 ; ; M M M 1 2 3 ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) M x M y M z Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), 1 2 3 ; ; M M M (Oxz). Khi đó . 1 2 3 ( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; ) M x y M y z M x z

Cho . Khi đó ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z     

III. Các công thức

 Cho hai véctơ . Khi đó : 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) a x y z b x y z    

1. 1 2 1 2 1 2 ( ; ; ) a b x x y y z z       

2. 1 1 1 . ( ; ; ) m a mx my mz m R    

3. Tích vô hướng của hai véctơ :

a) . . .cos( ; ) a b a b a b    

b) 1 2 1 2 1 2 .a b x x y y z z    

4. Độ dài của véctơ :

; 2 2 2 1 1 1 a x y z     2 2 2 2 2 2 b x y z    

5. Côsin của góc giữa 2 véctơ :

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

. cos( ; ) = ( ; 0) . .

a b x x y y z z a b a b a b x y z x y z

       

    

6.

1 2

1 2

1 2

x x

a b y y

z z

         

 

7. cùng phương với a



b



 1 1 1

2 2 2

x y z x y z  

 Khoảng cách giữa hai điểm

2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z        

z.

x

.

k



j 

i 

0

y

.M

.

.

1

. . . 0

i j k

i j j k i k

  

  

  

  

ThuVienDeThi.com

 Gọi I là trung điểm AB

2

2

2

A B I

A B I

A B I

x x x

y y y

z z z

          

   

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

3

3

3

A B C G

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

z z z z

            

    

Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( ), nghĩa là thì 1 k  . MA k MB   

. 1

. 1

. 1

A B M

A B M

A B M

x k x x k y k y y k z k z z k

           

      B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với . ( 1;2;4), (2;0;5), (1;1;2) A B C  a. Tính chu vi tam giác ABC. b. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. c. Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B. d. Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giác BCF . e. Tính góc A của tam giác ABC. Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết . (1;1;3), ( 2;3;0), (0;4;1), '(2;4; 1) A B D C   Tìm tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho . Chứng minh rằng : . 0 u 

  2 2 2 cos ( ; ) cos ( ; ) cos ( ; ) 1 u i u j u k      

Bai 4 : Tìm cách đều 2 điểm . Ox M  (1; 3;1) ; B(0;1;-2) A  Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với . Tìm tọa độ chân đường (2;0; 3), (1;2; 2), (0;2;1) A B C   phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC. Bài 6 : Cho . Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A. (4; 1;2) ; B(7;3;2) A  Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho . Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho : (2; 1;4), ( 4;3;2) A B  

a. đạt giá trị nhỏ nhất. MA MB   

b. đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 ( ) MA MB  Bài 8 : Cho . Tìm sao cho nhỏ nhất. ( 1;6;6) ; B(3;-6;-2) A  (Ox ) M y  ( ) MA MB  Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho 3 …