Toán 12 - Phương trình đại số

PHÖÔNG TRÌNH

A. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN

Phần này đề cập đến các phương pháp giải các phương trình có bậc nhỏ hơn 5

I. Phöông trình baäc nhaát Daïng toång quaùt : ax b c + = Bieän luaän :

• 0 a ≠ : phöông trình coù nghieäm duy nhaát b x a = −

• 0 a = : phương trình có dạng 0x b = − 0 b ≠ : phương trình vô nghiệm 0 b = : phương trình có vô số nghiệm II. Phương trình bậc hai Dạng tổng quát : ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ (1)

Bieän luaän : Ta xeùt 2 4 b ac ∆= − • 0 ∆< : phöông trình voâ nghieäm.

• 0 ∆= : phöông trình coù nghieäm keùp : 1 2 2

b x x a = = −

• 0 ∆> : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : 1 2 b x a −+ ∆ = , 2 2 b x a −− ∆ =

Ví dụ. Chứng minh rằng phöông trình ( ) 2 0 x a b c x ab bc ca + + + + + + = voâ nghieäm vôùi

, , a b c là 3 cạnh của một tam giác .

Giaûi. Ta coù ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∆= + + − + + = + + − + +

Mà 0 ∆< do , , a b c là ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học)

Định lý Viet và một số ứng dụng Giả sử 0 ∆≥ . Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình (1) thì :

1 2

1 2

.

b S a c P a

x x

x x

−  = =   = = 

+

Bằng định lý Viet chúng ta có thể xét dấu của các nghiệm như sau - Phương trình có hai nghiệm dương 0 ⇔∆≥ và 0 P > và 0 S > - Phương trình có hai nghiệm trái dấu 0 ⇔∆≥ và 0 P < - Phương trình có hai nghiệm âm 0 ⇔∆≥ và 0 P > và 0 S <

ThuVienDeThi.com

Thí dụ . Tìm m sao cho phương trình ( ) 2 2 2 6 1 0 x m x m − + + + = (*) có hai nghiệm không

nhỏ hơn 2 Giải Đặt 2 t x = − thì phương trình đã cho trở thành 2 2 2 3 0 t mt m − + − = (**) Phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm không âm

' 0

0

0

S

P

∆≥   ⇔ ≥   ≥ 

2 2 3 0

2 0

2 3 0

m m m

m

− + ≥   ⇔ ≥   − ≥ 

3 2 m ⇔ ≥

Vaäy 3 2 m ≥ thì phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2

III. Phöông trình baäc ba Daïng toåûng quaùt : ( ) 3 2 0 0 ax bx cx d a + + + = ≠

Ta ñöa veà daïng : 3 2 0 x ax bx c + + + = (2)

Đặt 3 a x y = − thì phương trình (2) được viết lại dưới dạng 3 0 y py q − − = (2’) trong đó

2

3 a p b = − vaø

3 2 27 3 ab a q c − = + − . Công thức nghiệm của phương trình (2’) là :

y = 3 3 2 3 3 2

27 4 2 27 4 2 p q q p q q + − − + + + − được gọi là công thức Cardano , lấy tên của nhà

toaùn hoïc Italia. Cardan theo học trưòng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết khá nhiều về Toán, cũng như một số ngành khác. Ông đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể là 3 6 20 x x + = . Bây giờ ta nói tổng quát là 3x px q + = . Phương pháp của

Cardan như sau: thay x u v = − vaø đặt ,u v như thế nào đó để tích 1 3 uv = ( hệ số của x trong

phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là 2 uv = . Từ phương trình 3 6 20 x x + = ta có ( ) 3 3 3 ( ) 3 20 u v uv u v u v − + − = − = . Khử v từ 2 uv = và từ 3 3 20 u v − = ta có

6 3 3 20 8 108 10 u u u = + ⇒ = + . Từ x u v = − và 3 3 20 u v − = , ta có

3 3 108 10 108 10 x = + − − .

Cardan cho một công thức tương đương đối với phương trình 3x px q + = là:

2 3 2 3 3 3 2 4 27 2 4 27 q q q p q p x = −− + + + − − +

ThuVienDeThi.com