Đề thi chọn đội tuyển Toán năm 2008

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thông năng khiếu Đề thi chọn đội tuyển Toán Ngày thi thứ nhất: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. a) Chứng minh tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số chính phương. b) Chứng minh không tồn tại số nguyên m sao cho 2009.m – 147 là số chính phương. Bài 2. Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6} ? Bài 3. Cho tam giác ABC có A cố định và B, C thay đổi trên một đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì C A B A ' . ' âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. a) Chứng minh rằng tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM thuộc một đường thẳng cố định. b) Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyế của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. Bài 4. Cho f(x) = x2 + ax + b. Biết phương trình f(f(x)) = 0 có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 và x1 + x2 = -1. Chứng minh rằng b ≤ -1/4.

ThuVienDeThi.com

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thông năng khiếu Đề thi chọn đội tuyển Toán Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 5. Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an, trong đó p, q là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu a1 = a2 thì 3n là một số chính phương. Bài 6. a) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

2 ) )( )( ( 8 2 2 2 ≥ + + + + + + + + a c c b b a abc ca bc ab c b a

c) Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương a, b, c sao cho

2 8

) )( )( (

2 2 2 < + + + + + +

+ +

abc

a c c b b a c b a

ca bc ab

Bài 7. Cho góc Oxy và một điểm P bên trong nó. γ là một đường tròn thay đổi nhưng luôn đi qua O và P, γ cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác OMN. Bài 8. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n. a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 không thể biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b). b) Chứng minh rằng mọi số 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b).

ThuVienDeThi.com

Đề số 1 Bài 1. Giải phương trình 2 2 1 2 1 2 1 x x x x − + − = −

Bài 2. Cho dãy {xn} xác định bởi e n

n x n =      +

+ 1 1 . Chứng minh rằng dãy {xn} có

giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. Hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại A và B. Gọi PQ, RS là các đoạn tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn này (P, R nằm trên (C1) và Q, S nằm trên (C2)). Biết rằng RB//PQ. Tia RB cắt (C2) tại điểm thứ hai W. Hãy tính tỷ số RB/BW. Bài 4. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n nguyên dương ta có f(n) là ước của 2n – 1. Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 2a + 3b là bình phương của một số nguyên. Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm di động trên cạnh AC. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại điểm thứ hai là P. Đường cao vẽ từ A của tam giác ABD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của CE và DP. I là giao điểm của AF và DE. Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI tại M. Chứng minh M di động trên 1 đường cố định khi D di động trên AC. Bài 7. Tại một hội nghị có 100 đại biểu. Trong số đó có 15 người Pháp, mỗi người quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với không quá 10 đại biểu. Họ được phân vào 21 phòng. Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào quen nhau. Đề số 2 Bài 1. Cho 0 < x0, x1, …, x669 < 1 là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cặp (xi, xj) sao cho

2007

1 ) ( 0 < − < i j j i x x x x

Bài 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số.

ThuVienDeThi.com