Chứng minh phương trình bậc 4 và phương trình bậc 6 vô nghiệm

Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế

A- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4: Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4 3 2 6 16 22 16 0 x x x x      vô nghiệm. (1) Giải: Đặt 

4 3 2 6 16 22 16 f x x x x x      .

Ta sẽ nhóm 4 3 6 x x  thành hằng đẳng thức như sau:    2 2 4 3 2 2 3 6 2 9 6 x x m x x m x mx m         .

Lúc này       2 2 2 2 3 7 2 6 22 16 f x x x m m x m x m          .

Đặt      2 2 7 2 6 22 16 g x m x m x m       . Ta sẽ chọn m sao cho nó nghiệm đúng hệ sau:

( )

3 2

3 2 ( )

7 0 7 2 0

2 0 8 64 136 36 0 8 64 136 36 0 (*)

g x

g x

a m m

m m m m m m

                              

Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay có thể tìm được một giá trị 7 2 m  thỏa (*), chẳng hạn với

3 m  thì

( )

( )

1 0

12 0

g x

g x

a     

.

Vậy  0, g x x   nên  

2 2 3 ( ) 0, f x x x m g x x       hay phương trình (1) vô nghiệm. 

Chú ý: Có thể trình bày vào bài giải ngắn gọn như sau:

Ta có       2 2 2 4 3 2 2 2 2 6 16 22 16 3 3 4 7 3 3 2 3 0, x x x x x x x x x x x x                   .

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm.  Ví dụ 2: Chứng minh phương trình 4 3 2 12 108 312 183 119 0 x x x x      vô nghiệm. (2)

Ta có 

4 3 2 61 119 2 9 26 0 4 12 x x x x      

Giải: Đặt 

4 3 2 61 119 9 26 4 12 f x x x x x      .

Ta sẽ nhóm 4 3 9 x x  thành hằng đẳng thức như

sau:

2 2 4 3 2 2 9 81 9 2 9 2 4 x x m x x m x mx m                    

.

Lúc này 

2 2 2 2 9 23 61 119 2 9 2 4 4 12 f x x x m m x m x m                           

.

Đặt 

2 2 23 61 119 2 9 4 4 12 g x m x m x m                  

. Ta sẽ chọn m sao cho nó nghiệm đúng hệ sau:

( )

3 2 3 2 ( )

23 23 2 0 0 4 8 0 1171 215 1171 215 8 104 0 8 104 0 (*) 6 48 6 48

g x

g x

m m a

m m m m m m

                                   

Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay có thể tìm được một giá trị 23

8 m  thỏa (*), chẳng hạn

với 2 m  thì

( )

( )

7 0 4

1625 0 48

g x

g x

a        

.

ThuVienDeThi.com

Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế

Vậy  0, g x x   nên 

2 2 9 ( ) 0, 2 f x x x m g x x            

hay phương trình (2) vô nghiệm. 

Chú ý: Có thể trình bày vào bài giải ngắn gọn như sau:

4 3 2 61 119 9 26 4 12 x x x x     

2 2 2 2 2 2 9 7 11 71 9 7 11 1625 2 2 2 4 4 12 2 4 14 336 x x x x x x x                             

nên 4 3 2 61 119 9 26 0, 4 12 x x x x x       , do đó phương trình (2) vô nghiệm. 

Bài tập: Chứng minh phương trình 4 3 2 2 3 0 x x x x     vô nghiệm. ------------------------------------------------------------ B- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 6: Ví dụ : Chứng minh phương trình 6 5 4 3 2 2 4 4 8 3 1 0 x x x x x x       vô nghiệm. (1) Giải: Đặt 

6 5 4 3 2 2 4 4 8 3 1 f x x x x x x x       .

Ta sẽ nhóm 6 5 2 x x  thành hằng đẳng thức như sau:        

2 3 2 6 5 4 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x mx n x x m x n m x m n x mnx n              .

Do đó:

          2 3 2 4 3 2 2 2 5 2 2 2 4 8 2 3 2 1 f x x x mx n m x m n x m n x mn x n               .

Đặt          4 3 2 2 2

0 4 3 1 2

5 …