Tài liệu môn Toán - Bất đẳng thức cauchy

Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết

1

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

A) LÝ THUYẾT

I) Định lí: Cho . Khi đó . 0, 1, ia i n   1 2

1 2 ... ... n n

n a a a a a a n    

Dấu bằng xảy ra . 1 2 ... n a a a    

II) Hệ quả

1. Hệ quả 1: Cho và . Khi đó khi 0, 1, ia i n   1 2... n a a a q    1 2 min ... n n a a a n q    1 2 ... . n a a a   

2. Hệ quả 2: Cho và . Khi đó khi 0, 1, ia i n   1 2 ... n a a a K       1 2 max ...

n

n

K a a a n      

. 1 2 ... n

K a a a n    

B) ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I) Dùng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất

1. Nhận xét chung: Để áp dụng bất đẳng Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của ta làm như 1 2 ... , 0 n i S a a a a     

sau:

 Biến thỏa mãn có nghiệm.   1 2 0 ... m S b b b S      1 2

1 2

0, 1,

...

...

          

i

n

m

b i m

b b b q

b b b

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Const. 0 m S m q S    

 Xét dấu bằng và kết luận.

2. Một số dạng bài thường gặp

Dạng 1: với là hằng số dương; A và B là các biểu thức đại số nhận giá trị dương. m S A B   m

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . S

Phương pháp chung:

 Sử dụng xuất hiện các cơ số có trong . X X Y Y    B

 Sử dụng với là số mũ của thừa số trong . . a a m m  m B

ThuVienDeThi.com

Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết

2

Ví dụ 1. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của . 0. a b c       2 3 108 S a

c b c a b  

 

Lời giải

Ta có: .          2 3 2 3 108 108 3. 2. 3 2 a b b c S a b b c c c c b c a b c b c a b

             

Theo giả thiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy    2 3 108 0 0, 0, 0, 0. 3 2 a b b c a b c c

c b c a b

           

.   

3 2

7 2 3 108 7 . . . 7 3 2 a b b c S c S c b c a b

               

Dấu . Kết luận: khi .    2 3

1 108 " " 3 3 2 6

c a b b c c b c b c a b a

               

min 7 S 

6

3

1

a

b

c

     

Dạng 2: Cho là tổng đối xứng của các biến dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của . , , A B C , , x y z x y z S A B C   

Phương pháp chung: Đặt  

w

w , , 0,

w w

A u x u v

B v y v u

C z v v

  

    

  

                        

A

. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy w w 3 w w v u u v S u v u v                       

. Dấu bằng xảy ra . Kết luận.   3 S        x y z   

Ví dụ 2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của . , , 0 x y z  2 2 2 x y z S y z z x x y      

Lời giải

ThuVienDeThi.com

Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết

3

Đặt

2 4 1 2 4 9 9 9 2 2 2 4 1 2 2 9 9 9 2 2 4 1 2 9 9 9

x a b c c x b x a y z a

z x b z b x y b c a

x y c c x y z c a b

                                           

2 4 1 2 4 1 1 3 9 9 3 3 3

1 .

b c a c a b S a b c a b c

b c a a b c S a b c x y z c a b a b c

                                       

Kết luận: min 1 . S x y z   

Dạng 3: Cho là tổng đối xứng của các biến dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của , , A B C , , x y z

. x y z S A B C   

Phương pháp chung:

 Biến đổi tổng, chọn : x y z x y z k S k A kx kxA kyB kzC

                 

 Đánh giá 1 2 x y z S k S kx A ky B kz C               Tìm (Dạng 2) 1 min S

Ví dụ 3. Cho . : , , ABC BC a CA b AB c    

Tìm giá trị nhỏ nhất của . 2 2 2 2 2 2 a b c S b c a c a b a b c         

Dự đoán: min 2 2 3 S a b c b c a a       

Lời giải

      3 . 3 2 2 3 2 2 3 2 2

a b c S

a b c a b c a b c a b c

                

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta được:

ThuVienDeThi.com