Một số kỹ thuật giải Hệ phương trình

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

(loại)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải. I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo

y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ. *Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình ( )( ) ( )

( )

2 2

2 1 1 3 4 1 1

1 2

ì + + + = - + ïí + + = ïî

x y x y x x

xy x x

Giải. Dễ thấy 0 = x không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :

2 1 1 - + = x y x thay vào (1) ta

được

( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 1 1 x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1 æ ö - - + = - + Û - - = - - ç ÷ è ø

x x x x x x x x x x x

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 3 2

1 1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0

2

= é ê Û - + - - = - - Û - + - = Û = ê ê = - ë

x x x x x x x x x x x x x

Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1;- 1) , (- 2; 5 2 - )

*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình ( )

( )

2 2 2 1

2 1 2 2 2

ì + + = - ïí - - = - ïî

xy x y x y

x y y x x y

Giải .Điều kiện: 1, 0 ³ ³ x y PT (1) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 Û - - - + = Û + - - + = x xy y x y x y x y x y ( từ điều kiện ta có 0 + > x y ) 2 1 0 2 1 Û - - = Û = + x y x y thay vào PT (2) ta được :

( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5 + = + Û + - = ³ Û = Þ = y x y y y y do y x

*Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại là tham số.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình ( )( ) ( )

( )

2

2 2 5 4 4 1

5 4 16 8 16 0 2

ì = + - ïí - - + - + = ïî

y x x

y x xy x y

Giải .Biến đổi PT (2) về dạng ( ) 2 2 4 8 5 16 16 0 - + - + + = y x y x x

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2 ' 9 D = x từ đó ta được nghiệm ( )

( )

5 4 3

4 4

é = + ê = - êë

y x

y x

Thay (3) vào (1) ta được: ( ) ( )( ) 2 4 0 5 4 5 4 4 5 0 4

é = - Þ = ê + = + - Û ê = Þ = ë

x y x x x

x y

Thay (4) vào (1) ta được: ( ) ( )( ) 2 4 0 4 5 4 4 0 4 = Þ = é - = + - Û ê = Þ = ë

x y x x x x y

Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , 4;0 5 æ ö - ç ÷ è ø

II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( ) , ; , = = a f x y b g x y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

1 4 1

1 2 2

ì + + + = ïí + + - = ïî

x y y x y

x y x y

Giải .

Dễ thấy 1 = y không thỏa mãn PT(1) nên HPT

( )

2

2

1 4

1 2 1

ì + + + = ïï Û íæ ö + ï + - = ç ÷ ïè ø î

x y x y

x y x y

Đặt

2 2 1, 2 1 + = ì + = = + - Þ í = î

a b x a b y x ab y giải hệ ta được 1 = = a b từ đó ta có hệ

2 1

3

ì + = í + = î

x y x y

Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình

( ) ( )

2 2

2 3 4 4 7

1 2 3

ì + + + = ï + ïí ï + = ï + î

xy x y

x y

x x y

Giải . Điều kiện : 0 + ¹ x y

HPT

( ) ( )

( )

2 2

2 3 3 7

1 3

ì + + - + = ï + ï Û í

ï + + + - = ï + î

x y x y

x y

x y x y x y

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com