Hệ phương trình & các phương pháp giải

p n n p n p p n 2

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2

n p p đặt ẩn phụ

n p p đặt ẩn phụ là 1 trong những phương pháp khá mạnh để giải hệ phương trình. Từ 1 hệ khá

phức tạp nhưng chỉ sau 1 vài bước đặt ẩn phụ sẽ đưa về các dạng hệ cơ bản mà ta có thể dễ dàng giải.

Thông thường khi thấy cả 2 phương trình của hệ có những cụm hạng tử phức tạp giống nhau thì ta đặt nó

làm ẩn phụ. Xong với xu hướng câu hệ phương trình hiện nay trong các đề thi thì HPT thường là câu lấy

8 - 9 điểm nên người ra đề cố tình ẩn đi các dấu đặt ẩn phụ để làm bài toán trở nên khó khăn hơn. Bởi vậy

khi đặt ẩn phụ thì việc quan trọng đó là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y)

trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v.

Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình

cho một số hạng khác không như 2 2 , , , , ... x y xy x y để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ với

các dạng cụ thể sau

1. Đặt biểu thức đứng độc lập, phức tạp làm ẩn phụ

2. Sử dụng các kĩ năng nhóm, tách, thêm, bớt đặt ẩn phụ

3. Sử dụng phép chia làm xuất hiện đại lượng đặt ẩn phụ

4. Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu

o n n n

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan

ThuVienDeThi.com

p n n p n p p n 2

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3

1. Đặt biểu thứ đứn độc lập, phức tạp làm ẩn phụ

Bài 1. Giải hệ phương trình

  

 



    

   

2 3 2 1 3

1

1 3 2

1 3

y x y x

y x y x

H ớng dẫn

Đặt u = x+3y+1, v = y x 3 2  hệ đã cho trở thành

 

 



 

   

 

 



 

 

2 1

0 ) 1 1 )( (

2 1

2 1

v u

uv v u

v u

v u

Suy ra u = 1,v = 1 nên nghiệm của hệ là: (x; y) = (1; 3 1  )

Bài 2. Giải hệ phương trình sau

2 2 2 2

3 2

2 5 3 4 5 3

x xy y x y x y

x xy x xy x

               

H ớng dẫn Nhận xét:Trong bài này có nhiều hơn 2 biểu thức phức tạp vả lại xét thấy x+y có thể biểu diễn theo 2 căn thức ở phương trình thứ nhất nên ta nghĩ đến việc chọn ẩn phụ là 2 căn thức ấy để tìm được mối liên hệ giữa 2 ẩn thế vào phương trình thứ 2 và tìm ra nghiệm

Đặt

2

2

( ) 3

( ) 2 2

x y xy u

x y xy v

    

   

, điều kiện : 0, 0 u v  

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :

2 2 2

2 2 ( ) 6 2

5 2 3 0 ( )(5 3 ) 0

u v u v

u uv v u v u v u v

  

         

Với u v  , ta được :

2 2

2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 3 2 x y xy x y xy x y y x          

Thế y x  vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được :

2 2 2 5 3 4 5 3 x x x x x     

Đặt 2 2 5 3 u x x    , điều kiện 0 u  Khi đó ta được hệ phương trình sau

2 2

2 2 5 3

4 5 3

u x x

xu x x

        

Suy ra :

2 2 2 5

3 2 2

u x x x u u x                   

ThuVienDeThi.com

p n n p n p p n 2

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4

Với 2 u x  , ta được 3 y x  

Với 3 u x  , ta được 5 109 14 y x   

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 5 109 5 109 ( ; ) ; ,(3;3) 14 14 x y          

Bài 3: Giải hệ phương trình

 

2

2 2 ( ) 1 (1)

3 2 2 3 1 0(2)

x y y y x y x xy y

x y x x y y

             

H ớng dẫn ĐKXĐ 1 x y  

Đặt ; ( , 0) x y a y b a b     2 2 x a b    (1) Trở thành:

2 2 2 2

2 1

( ) 1 ( ) ( 1) ( 1)(a b 1) 0 (a b 1)(ab a b 1) 0 1 0( 1 0) ( 1)( 1) 0

1 1

a b ab a b ab

ab a b a b ab ab a b a b

ab a b a b a b

a b

   

                          

   

Đặt 2 1 1 y t y t    thế vào (2)

2 2 2

2 2 ( 1) 3 2 (2 3 ) 0

( 1) 3( 1) 2 0

( 1 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1 1) 2

x t x x x t

x t t x

x y x t x t x y

     

     

               

*

1 1 1 1 1 1 1 1 0

1 0 ( 1 1) 1

a x y x y x y y

y x y

                    

(vô lý)

*

1 1 1 2(y 1)

2 1 1 1 1 ( 1 1) 2

a x y x y

x y y x y

                   

* 1 1 b y  thay vào …