Chuyên đề Đại số tổ hợp ôn thi đại học

Tác giả: ThS. ðoàn Vương Nguyên CHƯƠNG I HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Quy tắc ñếm, cộng và nhân 1. Quy tắc ñếm Trong nhiều trường hợp ta cần phải ñếm số phần tử, số tập hợp, số các số hạng của tổng, … và không phải lúc nào cũng thực hiện dễ dàng. Ta xét một quy tắc rút ra từ bài toán ñơn giản sau ñây. Bài toán Người ta cần làm một hàng rào dài 20m, cứ cách 2m thì chôn 1 cọc. Tính số cọc cần dùng. Giải Số khoảng cách giữa các cọc là 20: 2 = 10. Kể từ cọc thứ 2 trở ñi thì số cọc bằng số khoảng cách.

Vậy số cọc là 20 1 11 2 + = .

1.1. Quy tắc Với ñiều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách ñều), ta có:

1 − = + số lớn nhất số nhỏ nhất số các số khoảng cách giữa 2 số liền kề .

Ví dụ 1. Tính số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 4. Giải Số có 3 chữ số lớn nhất chia hết cho 4 là 996. Số có 3 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 4 là 100. Khoảng cách giữa 2 số liền kề chia hết cho 4 là 4.

Vậy có 996 100 1 225 4 − + = số.

Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 7 trong tổng sau:

4 7 28 (a x) (a x) (a x) ... (a x) + + + + + + + + . Giải Khoảng cách giữa số mũ của 2 số hạng kề nhau là 3. Gọi số mũ của số hạng thứ 7 là k, ta có

k 1 1 7 k 19 3 − + = ⇒ = .

Vậy số hạng cần tìm là 19 (a x) + . 1.2. Các dấu hiệu chia hết + Chia hết cho 2: số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. + Chia hết cho 3: số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ 2001). + Chia hết cho 4: số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 (ví dụ 2000, 3796, 12344). + Chia hết cho 5: số có chữ số tận cùng là 0, 5. + Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. + Chia hết cho 8: số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 (ví dụ 2000, 2008, 3257016). + Chia hết cho 9: số có tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ 2007). + Chia hết cho 10: số có chữ số tận cùng là 0. + Chia hết cho 11: số có hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 (ví dụ 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). + Chia hết cho 25: số có 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

ThuVienDeThi.com

1

2. Quy tắc cộng i) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả. ii) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk kết quả. Ví dụ 3. Có 2 cuốn sách toán A và B khác nhau, 2 cuốn sách vật lý C và D khác nhau. Cần chọn ñúng 2 cuốn sách, hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Trường hợp 1: chọn 2 cuốn sách toán có 1 cách. + Trường hợp 2: chọn 2 cuốn sách vật lý có 1 cách. + Trường hợp 3: chọn 1 cuốn sách toán và 1 cuốn vật lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D. Vậy có 1 + 1 + 4 = 6 cách chọn. Ví dụ 4. Từ tập hợp { } X a; b; c = chọn ra 1 tập hợp con của A. Hỏi có mấy cách. Giải + Trường hợp 1: chọn tập hợp không chứa phần tử nào cả có 1 cách là tập rỗng. + Trường hợp 2: chọn tập hợp chứa 1 phần tử của A có 3 cách, ñó là { } a , { } b và { } c . + Trường hợp 3: chọn tập hợp chứa 2 phần tử của A có 3 cách, ñó là { } a; b , { } a; c và { } b; c . + Trường hợp 4: chọn tập hợp chứa 3 phần tử của A có 1 cách, ñó là { } a; b; c . Vậy có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách chọn. 2. Quy tắc nhân i) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo hai giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, ñồng thời ứng với mỗi cách ñó có n cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai. Khi ñó có mn cách thực hiện quá trình trên. ii) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo k giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, với mỗi cách ñó có m2 cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai, …, có mk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó, toàn bộ quá trình có m1.m2…mk cách thực hiện. Ví dụ 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược mấy …