Một số vấn đề về bất đẳng thức bậc bốn ba biến

MỘT SỐVẤN ĐỀVỀBẤT ĐẲNG THỨC BẬC BỐN BA BIẾN

Nguyễn Văn Huyện1

Tống Hữu Nhân2

1. Mởđầu

Trên tạp chí IJPAM 3 nhóm tác giảVasile Cirtoaje 4 và Võ Quốc Bá Cẩn 5 có đềxuất định lý:

Với a, b, c là ba sốthực, xét đa thức

F(a, b, c) = X a4 + A X b2c2 + Babc X a + C X b3c + D X bc3.

Nếu 1 + A + B + C + D = 0, bất đẳng thức F(a, b, c) ⩾0 sẽđúng khi và chỉkhi

3(1 + A) ⩾C2 + CD + D2.

Với định lý này lớp các bài toán bậc 4 ba biến sốđã được giải quyết triệt để. Tuy nhiên việc chứng minh và áp dụng nó trong các kỳthi không phải là điều dễdàng. Theo quan điểm cá nhân định lý này giống như một tiêu chuẩn trong việc sáng tạo ra các bất đẳng thức mới hơn là một phương pháp đểgiải quyết các bài toán. Điều mà chúng ta quan tâm không chỉlà những định lý tổng quát mà còn là những công cụkhông quá quá phức

1Sinh viên trường Đại học Giao Thông Vận Tải thành phốHồChí Minh. 2Sinh viên trường Đại học Y Dược thành phốHồChí Minh. 3International Journal of Pure and Applied Mathematics 4Trường đại học Department of Automatic Control and Computers, Ploiesti, Romania 5Hà Nội

1

ThuVienDeThi.com

Một sốvấn đềvềbất đẳng thức bậc bốn ba biến

tạp đểsửdụng trong phòng thi. Vì thế, trong bài viết nhỏnày, chúng tôi xin chia sẻmột vài kỹthuật nhỏkhá hiệu quảtrong việc xửlý các bất đẳng thức bậc 4 ba biến.

2. Các bài toán đối xứng

Năm 2011 trên diễn đàn toán học artofproblemsolving.com thành viên mudok có đềxuất bài toán sau đây:

Bài 2.1. Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng

(ab + bc + ca)2 + 9abc ⩾3(ab + bc + ca). (2.1.1)

Lời giải. Cách tựnhiên nhất là ta sẽrút c = −a −b rồi thay vào (2.1.1), và được ab −(a + b)2 2 −9ab(a + b) ⩾3 ab −(a + b)2 ,

(a2 + ab + b2)2 + 3(a2 + ab + b2) ⩾9ab(a + b).

Quan sát một chút ta thấy bất đẳng thức lúc này chứa ba đại lượng a2 +ab+b2, ab, a+b và chúng có mối liên hệvới nhau thông qua đánh giá

a2 + ab + b2 ⩾3

4(a + b)2 ⩾3ab,

suy ra

(a2 + ab + b2)2 + 3(a2 + ab + b2) ⩾9

16(a + b)4 + 9ab.

Như vậy ta chỉcần chứng minh

(a + b)4

16 + ab ⩾9ab(a + b).

Rất tiếc bất đẳng thức này không đúng (có thểkiểm tra với a = −1, b = 1). Do đó ta sẽ đổi lại đánh giá theo kiểu

(a2 + ab + b2)2 + 3(a2 + ab + b2) ⩾(3ab)2 + 3 · 3

4(a + b)2

= 9a2b2 + 9

4(a + b)2, (2.1.2)

và quy bài toán vềchứng minh

a2b2 + (a + b)2

4 ⩾ab(a + b).

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức AM-GM, nhưng có một lỗi trong đánh giá (2.1.2) đó là (a2 + ab + b2)2 ⩾(3ab)2 chỉđúng khi ab ⩾0, nhưng ta có thểkhắc phục lỗi này bằng kỹthuật sau.

Do ab · bc · ca = a2b2c2 ⩾0 nên trong ba sốab, bc, ca sẽcó ít nhất một sốkhông âm, giả sửab ⩾0. Với những lập luận trên, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

a2 + ab + b2 ⩾3

4(a + b)2 ⩾3ab ⩾0. (2.1.3)

2

ThuVienDeThi.com

Một sốvấn đềvềbất đẳng thức bậc bốn ba biến

Suy ra

(a2 + ab + b2)2 + 3(a2 + ab + b2) ⩾9a2b2 + 9(a + b)2

4 .

Ta sẽchứng minh

a2b2 + (a + b)2

4 ⩾ab(a + b).

Cũng theo bất đẳng thức AM-GM thì

a2b2 + (a + b)2

4 ⩾2

r

a2b2 · (a + b)2

4 = ab |a + b| ⩾ab(a + b). (2.1.4)

Đẳng thức xảy ra khi (2.1.3) và (2.1.4) trởthành đẳng thức, tức  



a = b

a2b2 = (a + b)2

4

Giải hệnày ta được a = b = c = 0 và a = b = 1, c = −2. Bài được chứng minh.

Bài 2.2. Cho ba sốthực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

3(a4 + b4 + c4) + a2 + b2 + c2 + 6 ⩾6(a3 + b3 + c3). (2.2.1)

Lời giải. Đây cũng là một bài toán đối xứng, nên ta sẽtìm cách đưa điều kiện vềdạng tổng bằng 0, rồi dùng phép thếnhư trên. Rất tựnhiên đặt a = x+1, b = y +1, c = z +1, khi đó x + y + z = (a −1) + (b −1) + (c −1) = 0.

Với phép đặt này thì

a2 + b2 + c2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2

= x2 + y2 + z2 + 2(x + y + z) + 3 = x2 + y2 + z2 + 3,

tương tự

a3 + b3 + c3 = x3 + y3 + z3 + 3(x2 + y2 + z2) + 3, a4 + b4 + c4 = x4 + y4 + z4 + 4(x3 + y3 + z3) + 6(x2 + y2 + z2) + 3.

Bất đẳng thức (2.2.1) trởthành

3(x4 + y4 + z4) + 6(x3 + y3 + z3) + x2 + y2 + z2 ⩾0. (2.2.2)

Giảsửxy ⩾0, rồi thay z = −x −y vào (2.2.2), ta được

3[x4 + y4 + (x + y)4] + 6[x3 + y3 −(x + y)3] + x2 + y2 + (x + y)2 ⩾0,

3(x4 + 2x3y + …