Hướng dẫn tính Tích phân 2015

HƯỚNG DẪN TÍNH TÍCH PHÂN 2015

+ Công thức tính tích phân: với: là một nguyên hàm của ( ) ( ) ( ) ( )

b

b

a a

f x dx F x F b F a     ( ) F x ( ) f x

+ Phương pháp đổi biến + Phương pháp tích phân từng phần

Công thức: (1)

b b b

a a a udv uv vdu    

+ Tính: ( ). ( )

b

a

P x Q x dx 

Dạng 1: Nếu là hàm đa thức theo biến và ( ) P x x

là: Q( ) x sin ,cos , , ,... x x x x e a

Ta đặt: rồi thay vào (1) ( ) ?

( ) ?

u P x du

dv Q x dx v

          

Bước 1: Đặt làm biến mới t   ( ) t u x 

Bước 2: Vi phân hai vế ( ' ) dt u dx  Bước 3: Đổi cận theo biến t Bước 1: Tính tích phân theo biến t

Ví dụ: Tính  

1

2 2 0 4

xdx I

x 

 

Đặt: 2 1 4 2 2 t x dt xdx xdx dt      

Đổi cận:

5 5

2 4 4

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 5 4 40 dt I t t                    

Dạng 2: Nếu là hàm đa thức theo biến và ( ) P x x là: Q( ) x ln ,log ,... a x x

Ta đặt: rồi thay vào (1) ( ) ?

( ) ?

u Q x du

dv P x dx v

           BÀI TẬP TÍCH PHÂN Đề bài Hướng dẫn Kết quả

Bài 1.

1

2 0 5 6 dx I x x    

Áp dụng:

ln dx x a C x a     

Biến đổi về dạng tổng:    2

1 1 5 6 2 3 x x x x     

Tìm 2 số A và B sao cho:    1 2 3 3 2 A B x x x x      

Giải hệ: 0 ?

2 3 1 ?

A B A

A B B

             

4 I ln 3 

Bài 2.

 

2

2

0

sin cos I x x xdx



  

Tách thành 2 tích phân: 1 2 ; I I   2 2 sin cos .cos sin cos x x x x x x x   

( từng phần dạng 1)

2

1

0

cos I x xdx





, đặt:

2

2 2

0

sin cos I x xdx



 sin t x 

2 2 3 I   

Bài 3.

  ln5

ln2

1

1

x x

x e e I dx e

 

 

Đặt: 2 1 1 x x t e t e     Chú ý : 2 2 1 1 2 x x t e e t    

26

3 I 

 

1

0

2 1 x J x e dx   

Từng phần dạng 1

Rồi thay vào công thức (1) 2 1 ?

? x u x du

v dv e dx

          

1 J e  

2

2 0

sin 2 4 cos

x K dx x



  

Đặt : 2 4 cos t x  

Chú ý: ;  

' 2 sin sin 2 x x   

' 2 cos sin 2 x x 

4 ln 3 K 

x

t

0 1

5 4

ThuVienDeThi.com

Bài 4.

2

1

ln e x I dx x 

Đặt : ln ... t x   1 3 I 

2

2 1

2

1

x J dx x 

  Đặt: 2 2 2 1 1 t x t x       2 5 2 J  

3

1

2 ln K x xdx 

Từng phần dạng 2

Rồi thay vào công thức (1) ln ? 2 ? u x du dv xdx v           

9ln3 4 K  

Bài 5.  

1

0

1 x I e xdx   

Tách thành 2 tích phân: 1 2 ; I I

  1 x x e x x xe   

; Đặt:

1

1

0 I xdx 

1

2

0

x I xe dx 

?

? x u x du

v dv e dx

         

3 2 I 

 

1 4 2 3

1

1 J x x dx

    Đặt : 3 1 ... t x   32 15 J 

 

2

0

2 1 cos K x xdx



  

Từng phần dạng 1

Rồi thay vào công thức (1) 2 1 ?

cos ?

u x du

dv xdx v

           

3 K   

Bài 6.

1

0

3 1 I x dx    Đặt :

2 3 1 3 1 ... t x t x     14

9 I 

 

1

0

4 1 x J x e dx   

Từng phần dạng 1

Rồi thay vào công thức (1) 4 1 ?

? x u x du

v dv e dx

          

3 J e  

 

2

2

1

6 4 1 K x x dx     Tính nguyên hàm theo công thức 9 K 

Bài 7.  

0

1 cos I x x dx

   

Tách thành 2 tích phân: 1 2 ; I I

  cos cos x x x x x   

; Đặt: 1

0 I xdx

  2

0

cos I x xdx

 

?

cos ?

u x du

dv xdx v

          

2

2 2 I   

Bài 8.  

1

2 2

0

1 I x x dx   

Khai triển đưa về dạng tổng.

    2 2 2 2 4 3 2 1 2 1 2 x x x x x x x x       

1 30 I 

Bài 9.

1

4 5ln e x I dx x   Chú ý:  

' 5 4 5ln x x   38 15 I 

Bài 10.  

ln2 2

0

1 x x I e e dx    Đặt : 1 ... x t e dt    1 3 I 

Bài 11.

2

2

0

4 I x dx    Đặt: với 2sin x t  ; 2 2 t         I  

Bài 12.

1

2 0 1 dx I x    Đặt: với tan x t  ; 2 2 t         4 I  

Bài 13.

1

2 3

0

5 I x x dx    Đặt : 3 2 3 5 5 ... t x t x         2 6 6 5 5 9 I  

ThuVienDeThi.com