Giải phương trình chứa căn như thế nào

Chuẩn bị thi vào đại học

Giải Phương Trình chứa căn như thế nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng , chúng ta đều biết d cx b ax    bình phương 2 vÕ để khử căn bậc hai, vậy với PT có giải được e dx cx b ax     2

bằng phương pháp đó được nữa không? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được, Ví dụ khi giải PT sau:

,ta đặt , rồi khi giải PT: 3 2 3 5 9 2     x x x 3 1 ,1 3 5 9      y y x

, ta đặt . 2004 16032 1 2004 2     x x x 2 1 ,1 2 16032 1     t t x

Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy( Đã có một chuyên đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cô thể:

Dạng 1: và thỏa mãn (*). Xét hàm ) 0 (, 1 2      a d cx x a b ax         2 1 2

2 c c a ad b

số => , khi đó bằng phép đặt d cx x a y    2 1

2 0 2 ) (' ac x c x a x f      

, ta sẽ đưa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. 2 ac y b ax   

Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó.

Ví dụ: Giải PT sau: 36

61 12 6 29 3 2     x x x

Làm nháp: => . 6 29 3 ) ( 2    x x x f 6 1 0 1 6 ) ('       x x x f

Giải: Đặt , <=> 6 1 36

61 12    y x

6 1   y 36

1 3 1 36

61 12 2     y y x

<=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)

Mà theo cách đặt ta có: <=> 3x2 + x = y +5 (2) 6 1 6 29 3 2     y x x

Từ (1) và (2) ta có hệ: => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y 

 

  

  

5 3

5 3

2

2

y x x

x y y

<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc . 3

2 3    x y

ThuVienDeThi.com

* Với y = x => 3y2 = 5 =>y = x = ,( ). 3 5

6 1   y

* Với => 3x2 + x = +5 <=> 9x2 +6x - 13 = 0 3

2 3    x y 3

2 3  x

=> . Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của PT đã cho. 9

126 3

2 ,1

   x

Dạng 2: ) 1 ,0 ,0 (, 2

c a c a e dx cx b ax       

Xét f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => , khi đó bằng phép đặt c d x 2  

. d cy b ax    2 Ví dụ1: Giải PT sau: 3 2 3 5 9 2     x x x Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.

Giải: Đặt 3 1 ,1 3 5 9      y y x

=> 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như 

 

  

  

2 3 2 3

2 3 2 3

2

2

y x x

x y y

ví dụ trên. Ví dụ 2: Giải PT sau: 2004 16032 1 2004 2     x x x (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x = 2

1

Do , nên ta sử dụng phương pháp đặt: c a 1 

Giải: Đặt => t2 – t = 4008x, (1) 2 1 ,1 2 16032 1     t t x

Mặt khác do từ PT ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau: 

 

 

 

t x x

x t t

4008

4008

2

2

=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) <=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0 <=> t = x hoặc t = - x – 4007. * Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn. * Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm.

ThuVienDeThi.com