Một vấn đề về đường tròn

Một vấn đề về đường tròn 1 vanthekt@yahoo.com

A. Đề dẫn Trong hình học phổ thông, học sinh được làm quen khái niệm đường tròn từ rất sớm. Nhưng trong chương trình Hình học lớp 12 THPT, vấn đề đó được giải quyết theo phương pháp toạ độ. Chính vì vậy, bài toán về đường tròn có thể được giải quyết bằng các kiến thức sơ cấp. Quá trình giảng dạy, với kiến thức sơ cấp, tôi thường sử dụng hoặc là minh hoạ cách giải, hoặc là tìm thêm cho phương pháp toạ độ một nhận thức khác. Từ đó bài toán có thêm ý nghĩa mới. Cũng như chúng ta có thể trên cơ sở của các kết luận của đường tròn, với khái niệm afin ( có thể là phép co theo hệ trục ) ta có thể giải được một số bài toàn về đường elip. Qua một bài tập trong sách giáo khoa ôn tập lớp 12 tôi đã đi sâu theo hướng đó và áp dụng trong giảng dạy nâng cao. Kết quả này đã được trình bày trong xêmine của tổ Toán Trường THPT Kim Thành.

Bài viết của tôi theo hướng - Đưa ra bài toán đơn giản, trình bày một số cách giải - Chứng minh một số vấn đề thuộc lý luận không có trong sách giáo khoa hiện hành - Một số kết quả cần thiết - Tuyển bài tập tổng hợp. Do ý định đơn giản các vấn đề, tôi không trình bày kết quả đối ngẫu là đường elip, cũng như do hạn chế về kiến thức tôi không có thể nhìn tổng quát được bức tranh về các đường bậc hai và có thể sai sót nhiều. Rất mong được các đồng nghiệp góp ý.

Sau đây là nội dung bài viết.

Một bài toán có nhiều cách giải Bài toán Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A, B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình.

x2 - 2 (m + 1)x + m = 0 (*) 1/ Viết phương tình đường tròn đường kính AB 2/ Cho E (0; 1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp  AEB. Bài giải: Câu1: Cách 1. (Tìm tâm và bán kính đường tròn) Gọi x1x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) (chú ý phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt). Theo đính lý Viét ta có:

x1 + x2 = 2(m + 1) (1) x1x2 = 2 (2) Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn AB , A (x1; 0) B (x2; 0)

ThuVienDeThi.com

Một vấn đề về đường tròn 2 vanthekt@yahoo.com

 I ( ; 0) hay I (m + 1; 0) 2

2 2 x x 

Bán kính của đường tròn là R = 2

AB

 2R = AB = x1 - x2 4R2 = (x1 + x2) 2 - 4x1x2 ,theo (1) và (2) = 4 (m + 1)2 - 4m = 4 (m2 + m + 1)

 R = 1 2  m m Vậy đường tròn đường kính AB có phương trình

(AB) [x - (m + 1)] 2 + y2 = m2 + m + 1 hay

x2 + y2 - 2 (m + 1)x + m = 0

Cách 2: (Viết phương trình đường tròn theo dạng đường kính) Bổ đề. Nếu A (x1, y1); B (x2, y2) thì phương trình đường tròn đường kính AB là: (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0 Thật vậy: Giả sử M (x; y) trên mặt phẳng Oxy thuộc đường tròn đường kính AB . Nghĩa là ta có:

(3) BM AM  0 .   BM AM

Thay vào (3) ta có ) ; ( ) ; ( 2 2 1 1 y y x x BM y y x x AM     (x - x1) (x - x2) + (y - y1) (y - y2) = 0 (đpcm)

áp dung vào bài với

A(x1; 0); B(x2; 0) => (x - x1) (x - x2) + y2 = 0 <=> x2 - (x1 + x2) x + x1x2 + y2 = 0 Theo (2) và (3) <=> x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m = 0

Cách 3: (Khôi phục từ vết của đường tròn trên Ox – Chùm eliptic)

Đường tròn (AB) có phương trình: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 a2 + b2 > c với tâm I(a;b). Vì tâm thuộc Ox nên b = 0

=> x2 + y2 - 2ax + c = 0 (4) đk a2 > c Cho giao với Ox (y = 0) => x2 - 2ax + c = 0 ta được 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Mà x1, x2 cũng là nghiệm của phương trình x2 - 2(m + 1)x + m = 0 nên

ThuVienDeThi.com