Một số kiến thức Hình học THPT

ĐẠI SỐ

1

MỘT SỐ KIẾN THỨC *Phương trình đường tròn :     2 2 2 R b y a x     Hay : 0 c by 2 ax 2 y x 2 2     

Cótâm là: và bán kính : 0   b ;a I c b a R 2 2    

*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là: ( là miền gạch hình 2)     2 2 2 R b y a x     *Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: (là miền gạch hình 3)     2 2 2 R b y a x    

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ

2

*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c 0 và ax + by + c 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay   nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại . Xét đường thẳng : -x + y – 2 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế  vào (-x + y – 2) ta được -2 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính  là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m y M trong mxđ   f(x) có nghiệm khi M trong mxđ     f(x) đúng x khi m trong mxđ      f(x) có nghiệm khi m trong mxđ    f(x) đúng x khi M trong mxđ     *Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng ( ) có phương trình : ax + by + c = 0  , khoảng cách từ A đến đường thẳng là :

d(A; ) = 

2 2

0 0

b a

c by ax



 

*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]

Đổi trục oxy IXY 

  

 

 

b Y y

a X x

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ

3

phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.

 * m y 2 cos x 2 cos

2 1 y sin x sin



 

 

 

Giải :

Đặt u = sinx , v = siny Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm :

(*) 



     



 









  

 

4 1 v

3 1 u

2 2

m 2 v u

1 2 1 v u

2 2

Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính

R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là 2

m 2 

số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt

đường thẳng u + v = nằm trong hình vuông. Dễ thấy 2 1

M(1 ; - ) và OM = ON 2 1

OM = , OH = = , suy ra ycbt là 4 5

2

2 1 

8

1

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ

4

8 1  2

m 2   4 5

- m  2 1  4

7

Cho hệ phương trình.

(*)   

  

  

0 x y x

0 a ay x

2 2

a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b)gọi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 1 

Giải : a) Hệ đã cho có thể viết lại :

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ

5

(*) 



 

  

  

) 2 ( 4 1 y ) 2 1 x (

)1( 0 )1 y ( a x

2 2

Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định

(0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I( ;0) bán kính R = . 2 1

2 1

Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :

D(I ;d) = < 2 m 1

m 0. m 2 1



 

2 1

0 <m <  3 4

b) ta có AB = 2R 2 1 2 2 1 2 ) y y ( ) x x (    

(x2 –x1)2 + (y2 – y1)2 4R =1 (đpcm)  Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :

Hay : - a = 0 a = 2 1  2 1

ThuVienDeThi.com