Chương IX Hệ phương trình lượng giác

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:

( )

( )

2cos x 1 0 1

3 sin 2x 2 2

− = ⎧ ⎪⎨ = ⎪⎩

Ta có: ( ) 1 1 cos x 2 ⇔ =

( ) x k2 k 3 π ⇔ = ± + π ∈Z

Với x k 3 2 π = + π thay vào (2), ta được

2 3 sin 2x sin k4 3 2 π ⎛ ⎞ = + π = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Với x 3 π = − + π k2 thay vào (2), ta được

2 3 sin 2x sin k4 3 2 π ⎛ ⎞ = − + π = − ≠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

3 2 (loại)

Do ñoù nghieäm của heä laø: 2 , 3 π = + π ∈ x k k

Bài 174: Giải hệ phương trình:

sin x sin y 1

x y 3

+ = ⎧⎪ π ⎨ + = ⎪⎩

Cách 1:

Hệ đã cho

x y x y 2sin .cos 1 2 2

x y 3

+ − ⎧ = ⎪⎪ ⇔⎨ π ⎪ + = ⎪⎩

π − − ⎧ ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ π π ⎪ ⎪ + = + = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

x y x y 2.sin .cos 1 cos 1 6 2 2

x y x y 3 3

ThuVienDeThi.com

4 2 2

3 3

− ⎧ − = π = π ⎧ ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⇔ π ⎨ ⎨ π + = ⎪ ⎪ + = ⎩ ⎪⎩

x y x y k k

x y x y

( ) 2 6

2 6

π ⎧= + π ⎪⎪ ⇔ ∈ ⎨ π ⎪ = − π ⎪⎩

x k k Z y k

Cách 2:

Hệ đã cho

3 3 3 1 sin sin 1 cos sin 1 3 2 2

3 3

sin 1 2 3 3 2

2 6

2 6

π π ⎧ ⎧ = − = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ π ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ + − = + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π ⎧ π ⎧ = − = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ π π π ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ + = + = + π ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎩ π ⎧= + π ⎪⎪ ⇔ ∈ ⎨ π ⎪ = − π ⎪⎩

y x y x

x x x x

y x y x

x x k

x k k y k

Bài 175: Giải hệ phương trình: sin x sin y 2 (1)

cos x cos y 2 (2)

⎧ + = ⎪⎨ + = ⎪⎩

Cách 1:

Hệ đã cho

x y x y 2sin cos 2 (1) 2 2 x y x y 2cos cos 2 (2) 2 2

+ − ⎧ = ⎪⎪ ⇔⎨ + − ⎪ = ⎪⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

x y x y tg 1 (do cos 0 2 2 − = không là nghiệm của (1) và (2) )

2 4

2 2 2 2

+ π ⇔ = + π

π π ⇔ + = + π ⇔ = − + π

x y k

x y k y x k

thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 2 2 π ⎛ ⎞ + − + π = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

sin x cos x 2 ⇔ + =

ThuVienDeThi.com

2 cos 2 4

2 , 4

π ⎛ ⎞ ⇔ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⇔ − = π ∈

=

x

x h h

Do đó: hệ đã cho

( )

2 , 4

2 , , 4

π ⎧= + π ∈ ⎪⎪ ⇔⎨ π ⎪ = + − π ∈ ⎪⎩

x h h

y k h k h

Cách 2: Ta có A B A C B C D A C B D = + = ⎧ ⎧ ⇔ ⎨ ⎨ = − = ⎩ ⎩

D + −

Hệ đã cho

( ) ( )

( ) ( )

⎧ − + − = ⎪ ⇔⎨ + + − = ⎪⎩ ⎧ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

sin x cos x sin y cos y 0

sin x cos x sin y cos y 2 2

2 sin x 2 sin y 0 4 4

2 sin x 2 sin y 2 2 4 4

sin sin 0 4 4 sin sin 0 4 4 sin 1 4 sin sin 2 4 4 sin 1 4

2 4 2

2 4 2

sin sin 0 4 4

x y x y x x y y

x k

y h

x y

⎧ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎧ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ π ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ ⇔ + = ⎨ ⎨ ⎜ ⎟ π π ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎩ + = ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ ⎧ π π + = + π ⎪ ⎪ π π ⎪ ⇔ + = + π ⎨ ⎪ ⎪ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

π ⎧ = + π ⎪⎪ ⇔⎨ π ⎪ = + π ∈ ⎪⎩

x k2 4

y h2 , h, k 4 Z

Bài 176: Giải hệ phương trình:

− − = ⎧⎪⎨ + = − ⎪⎩

tgx tgy tgxtgy 1 (1)

cos 2y 3 cos 2x 1 (2)

ThuVienDeThi.com

Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy − = +

( )

2

1 tgxtgy 0 tg x y 1 tgx tgy 0 1 tgxtgy 0 1 tg x 0 (VN)

⎧+ = − = ⎧⎪ ⎪ ⇔ ∨ − = ⎨ ⎨ + ≠ ⎪⎩ ⎪+ = ⎩

( x y k k Z 4 π ⇔ − = + π ∈), với x, y k 2 π ≠ + π

x y k 4 π ⇔ = + + π, với x, y k 2 π ≠ + π

Thay vào (2) ta được: cos2y 3 cos 2y k2 1 2 π ⎛ ⎞ + + + π = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

cos2 3s 2 1

3 1 1 s 2 cos2 sin 2 2 2 2 6

y in y

in y y y

⇔ − = −

π ⎛ ⎞ ⇔ − = ⇔ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

1 2 =

( ) 5 2 2 2 2 6 6 6 6 y h hay y h h Z π π π π ⇔ − = + π − = + π ∈

, , 6 2 (lọai) y h h hay y h h π π ⇔ = + π ∈ = + π ∈

Do đó:

Hệ đã cho

( )

( )

5 6 ,

6

x k h h k Z y h

π ⎧= + + π ⎪⎪ ⇔ ∈ ⎨ π ⎪ = + π ⎪⎩

Bài 177: Giải hệ phương trình

3

3 cos x cos x sin y 0 (1)

sin x sin y cos x 0 (2)

⎧ − + = ⎪⎨ − + = ⎪⎩

Lấy (1) + (2) ta được: 3 3 sin x cos x 0 + =

3 3

3 sin x cos x

tg x 1

tgx 1

x k (k 4

⇔ = −

⇔ = −

⇔ = − π ⇔ = − + π ∈Z)

Thay vào (1) ta được:

( ) 3 2 sin y cos x cos x cos x 1 cos x = − = −

= = 2 1 cos x.sin x sin 2x sin x 2

π π ⎛ ⎞ ⎛ = − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

1 sin sin k 2 2 4

⎞ π⎟⎠

π ⎛ ⎞ = − − + π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

1 sin k 2 4

ThuVienDeThi.com