Chương VI Phương trình đẳng cấp

CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

2 2 asin u bsinu cosu ccos u d + + = Cách giải :

( ) Tìm nghiệm u k lúc đó cosu 0 và sinu 1 2 π • = + π = = ±

2 Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình : • ≠ ( ) 2 2 atg u btgu c d 1 tg u + + = +

Đặt ta có phương trình : t tgu = ( ) 2 a d t bt c d 0 − + + − =

Giải phương trình tìm được t = tgu Bài 127 : Giải phương trình

( ) 2 2 cos x 3 sin 2x 1 sin x * − = +

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên Chia hai vế của (*) cho 2 cos 0 ≠ ta được ( ) ( ) 2 2 * 1 2 3tgx 1 tg x tg x ⇔ − = + +

Đặt t = tgx ta có phương trình :

2 2t 2 3t 0 + = t 0 t 3 ⇔ = ∨ = −

Vậy ( ) * π ⇔ = = − ⇔ = π = − + π ∈ tgx 0 hay tgx 3 x k hay x k , k 3

Bài 128 : Giải phương trình

( ) 3 3 2 cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 * − − + =

• Khi x k thì cos x 0và sin x 2 π = + π = = ±1

thì (*) vô nghiệm

• Do không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos3x = cos x 0 ta có (*) ( ) 3 2 2 1 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0 ⇔ − − + + =

( )( )

⇔ + − − =

⇔ + − =

⇔ = −∨ = ±

π π ⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈

3 2

2 3tg x 3tg x tgx 1 0

tgx 1 3tg x 1 0

3 tgx 1 tgx 3

x k x k , k 4 6

ThuVienDeThi.com

Bài 129 : Giải phương trình

( ) 4 2 2 4 3cos x 4 sin x cos x sin x 0 * − + =

Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho 4 cos x 0 ≠ Ta có : (*) 2 4 3 4tg x tg x 0 ⇔ − + =

⇔ = ∨ =

π π ⎛ ⎞ ⎛ ⇔ = ± = ± ∨ = ± ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ π π ⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈

⎞ ⎟⎠

2 2 tg x 1 tg x 3

tgx 1 tg tgx tg 4 3

x k x k , k 4 3

Bài 130 : Giải phương trình ( ) sin 2x 2tgx 3 * + =

Chia hai vế của (*) cho 2 cos x 0 ≠ ta được

(*) 2 2 2sin x cos x 2tgx 3 cos x cos x cos x ⇔ + = 2

( ) ( ) 2 2 2tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x ⇔ + + = +

3 2 t tgx

2t 3t 4t 3 0

= ⎧ ⇔⎨ − + − = ⎩

( )( )

= ⎧⎪ ⇔⎨ − − + ⎪⎩

2 t tgx

t 1 2t t 3 0 =

⇔ =

π ⇔ = + π ∈

tgx 1

x k , k 4

Bài 131 : Giải phương trình

( ) 3 sin x sin 2x sin 3x 6cos x * + =

( ) 2 3 * 2sin x cos x 3sin x 4sin x 6cos x ⇔ + − = 3

( ) • = = ± Khi cos x 0 ( sin x 1) thì * vô nghiệm

• Chia hai vế phương trình (*) cho 3 cos x 0 ≠ ta được

( ) * ⇔

2 3

2 2 2sin x 3sin x 1 sin x . 4 cos x cos x cos x cos x + − 3 6 =

( )

( )( )

⇔ + + − =

⇔ − − + =

⇔ − − =

⇔ = = α ∨ = ±

π ⇔ = α + π ∨ = ± + π ∈ α =

2 2 3

3 2

2

2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6

tg x 2tg x 3tgx 6 0

tgx 2 tg x 3 0

tgx 2 tg tgx 3

x k x k , k ( với tg 3 2)

ThuVienDeThi.com

Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình

( ) 2 cos2x 1 cot gx 1 sin x sin2x * 1 tgx 2 − = + − +

Điều kiện sin 2x 0 và tgx 1 ≠ ≠−

Ta có : ( ) 2 2 2 2 cos x cos x sin x cos2x cos x sin x sin x 1 tgx cos x sin x 1 cos x

− − = = + + +

( ) ( = − = − + cos x cos x sin x do tgx 1 nên, sin x cos x 0) ≠

Do đó : ( ) ( ) 2 2 cos x 1 * 1 cos x sin x cos x sin x sin 2x sin x 2 ⇔ − = − + −

( ) ( ) ( )

− ⇔ = −

⇔ − = −

⇔ − = = −

2

cos x sin x 1 sin 2x sin x

cos x sin x sin x cos x sin x

cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)

( )

( )

= ≠ ⎡ ⎢ ⇔⎢ = − ≠ ⎢⎣

2 2

tgx 1 nhận so với tgx 1

1 sin x tg x do cos x 0 cos x cos x

−

( )

( )

π ⎡ = + π ∈ ⎢ ⇔⎢ − + = ⎢⎣ π ⇔ = + π ∈ ≠

2

x k , k 4 2tg x tgx 1 0 vô nghiệm

x k , k nhận do sin 2x 0 4

Lưu ý : có thể làm cách khác

( ) ( ) 1 1 * * 1 sin 2x 1 cos2x 2 2 ⇔ − + − =0

⇔ = +

π ⎛ ⎞ ⇔ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

3 sin 2x cos 2x

3 2 sin 2x : vô nghiệm 4

Bài 133 : Giải phương trình ( ) sin 3x cos3x 2cos x 0 * + + =

( ) ( ) ( ) 3 3 * 3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x 2cos x ⇔ − + − + 0 =

=

3 3 3sin x 4sin x 4cos x cos x 0 ⇔ − + − Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta được

3 cos x 0 ≠

( ) ( ) ( ) 2 3 2 * 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0 ⇔ + − + − + =

ThuVienDeThi.com