Phương trình và hàm số bậc 4

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM SỐ BẬC 4

I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau :

Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (1) Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 (1’) Nghiệm dương của (1’) ứng với 2 nghiệm của (1) Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là phương trình (1’) có ít nhất một nghiệm không âm.

ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔

2

2 0 ( ) 0 t x f t at bt c

⎧= ≥ ⎨ = + + = ⎩

t = x2 ⇔ x = ± t

(1) có 4 nghiệm ⇔(1/ ) có 2 nghiệm dương ⇔ ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

> > > Δ

0 S 0 P 0

(1) có 3 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ > = 0 S 0 P

(1) có 2 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương ⇔ P < 0 hay ; 0 / 2 0 S Δ = ⎧ ⎨ > ⎩ (1) có 1 nghiệm ⇔( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 < 0 = t2 ) hay ( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 = t2 = 0 )

⇔ hay 0 0 P S = ⎧ ⎨ < ⎩

0 / 2 0 S Δ = ⎧ ⎨ = ⎩ (1) vô nghiệm ⇔(1/ ) vô nghiệm hay ( 1/ ) có 2 nghiệm âm

⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

< >

≥ Δ

0 S 0 P

0

0 0 P S > ⎧ ⎨ < ⎩

( 1 ) có 4 nghiệm là CSC ⇔

⎩ ⎨ ⎧ =

< <

1 2

2 1 t 3 t

t t 0

ThuVienDeThi.com

Giải hệ pt : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + = =

2 1

2 1

1 2

t. t P t t S t 9 t

Dạng 2 : Phương trình bậc 4 có tính đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx + b) = 0 * Nếu a ≠ 0, ta có phương trình tương đương :

0 c x 1 x b x

1 x a 2 2 = + ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ + + ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ +

Đặt t = x + x 1 phương trình cho viết thành

a(t2 – 2) + bt + c = 0 (2’) với ⏐t⏐≥ 2

Chú ý : Khi khảo sát hàm số : t = x + x 1 , ta có :

* Một nghiệm lớn hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm dương của phương trình (2). * Một nghiệm nhỏ hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm âm của phương trình (2) * Một nghiệm t = 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = 1 của phương trình (2) * Một nghiệm t = – 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = –1 của phương trình (2)

* phương trình t = x + x 1 vô nghiệm khi ⏐t⏐< 2

Dạng 3 : ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (3) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx – b) = 0 * Nếu a ≠ 0, có phương trình tương đương

0 c x 1 x b x

1 x a 2 2 = + ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ − + ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ +

Đặt t = x – x 1 , phương trình cho viết thành :

a(t2 + 2) + bt + c = 0 (3’) với t ∈ R.

Chú ý : phương trình t = x – x 1 có 2 nghiệm trái dấu với mọi t

Dạng 4 : (x + a)4 + (x + b)4 = c (C)

Đặt t = 2 b a x + + , t ∈ R thì với α = 2 b a − pt (C) viết thành :

(t – α)4 + (t + α)4 = c ⇒ phương trình trùng phương đã biết cách giải và biện luận. Dạng 5 : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. I I . TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÀM BẬC 4 Cho hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị (C).

ThuVienDeThi.com

Giả sử a > 0, (C) có trục đối xứng nếu ta tìm được các số α, β, γ, m sao cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0

⇔ x

ax b

=

+ =

⎡

⎣ ⎢⎢

0 1

2 0 2 ( )

( ) 2

3

1. Hàm số có 3 cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0.

⇔ a vàb

a vàab

= ≠

≠ ≥ ⎡

⎣⎢ 0 0

0 0

IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = 0

⇔ x

ax bx c

=

+ + =

⎡

⎣ ⎢⎢

0

4 3 2 0 2 ( ) 1. Khi a > 0, ta có : Hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại. ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0.

TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị (C a ) với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Co). Xác định tọa độ điểm uốn. 2) Định m để tiếp tuyến với (Co) tại M có hoành độ m, cắt (Co) tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào …