Cách giải cho một số Hệ phương trình

Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 1

Trong các phần trước chúng ta ñã ñi xét một số dạng hệ mà có ñường lối giải tổng quát. Trong phần này chúng ta ñi xét một số hệ mà không có ñường lối giải tổng quát. ðể tìm lời giải của những hệ này 1. Phương pháp thế: Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục ñích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán mà ta có những cách biến ñổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. • Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất ñối với một ẩn thì ta rút ẩn ñó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. • Với hai số thực bất kì x 0;y ≠ ta luôn có y tx = (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ ñược hệ về phương trình một ẩn t. • Phương trình f (x;y) f(y;x) = luôn có một cặp nghiệm x y = (các bạn thử giải thích vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho về dạng: (x y)g(x;y) 0 − = . • Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x)xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể ñặt t u(x) = ñể làm ñơn giản hình thức bài toán.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 3 x y 16 (1) 3x y 8 (2)

 =  + =  .

Giải : Ta thấy (2) là một phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút ẩn này qua ẩn kia. Từ phương trình (2) y 8 3x ⇒ = − thay vào phương trình (1) ta ñược:

3 4 3 2 2 x (8 3x) 16 3x 8x 16 0 (x 2) (3x 4x 4) 0 x 2 − = ⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ = Vậy hệ có nghiệm là x y 2 = = .

Chú ý : Ở cách giải trên ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x y 2 = = , ñồng thời từ hai phương trình ta có nhận xét x,y 0 > và ở phương trình (2) VT là 3x y + , phương trình

(1) có tích 3 x y . ðiều này gợi cho chúng ta liên tưởng ñến BðT Cauchy. Ta có cách giải khác như sau: Ta thấy nếu hệ có nghiệm (x;y) thì x,y 0 > .

Áp dụng bñt Cauchy ta có: 3 4 3x y x x x y 4 x y 8 + = + + + ≥ = . ðẳng thức xảy ra x y 2 ⇔ = = . Thử lại ta thấy thỏa mãn.

ThuVienDeThi.com

Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 2

Ví dụ 2:Giải hệ phương trình: ( ) 2 2

2 2

y(1 x ) x 1 y (1)

x 3y 1 (2)

 + = +   + =  .

Giải: Dễ thấy phương trình (1) có cặp nghiệm x y = , do ñó ta biến ñổi phương trình (1) của hệ ra thừa số (x y) − .

Ta có: x y (1) x y xy(y x) 0 (x y)(1 xy) 0 xy 1 =  ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ =  .

* 2 1 x y 4x 1 x 2 = ⇒ = ⇔ = ± .

* 4 2 1 x 3y y 1 0 y = ⇒ − + = phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ là: 1 x y 2 = = ± .

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

3

1 1 x y (1) x y

2y x 1 (2)

− = −   = + 

.

Giải: xy 0 ≠

Ta có

x y x y 1 (1) x y 0 (x y)(1 ) 0 1 xy xy y x

=  −  ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔= − 

.

* x y = thay vào (2), ta ñược:

3 2 1 5 x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0 x 1;x 2 −± − + = ⇔ − + − = ⇔ = = .

* 1 y x = − thay vào (2), ta ñược: 4 2 2 1 1 3 x x 2 0 (x ) (x ) 0 2 2 2 + + = ⇔ − + + + = vô

nghiệm.

Vậy hệ ñã cho có ba cặp nghiệm: 1 5 x y 1;x y 2 −± = = = = .

ThuVienDeThi.com