Đề thi thử đại học môn Toán (Đề 2)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2x 3 y x 2 − = − có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình: 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 = 0.

Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân:

1

2 1

dx

1 x 1 x − + + + ∫ .

Câu 4 (1 điểm) 1. Tính tổng : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 S C C C C C C C C C C C C = + + + + + .

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 2 z = và 1 1 . . z i z − = + Câu 5 (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm (1;1; 2). M − Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua M và cắt các trục tọa độ , , Ox Oy Oz tại , , A B C sao cho ABC là một tam giác có trực tâm là điểm M. Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) trong trường hợp thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất . Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình 4 3 2 24 200 672 716 2 10 0. x x x x x x − + − + + − + − = Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực , , 1 a b c > − và thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 2 6 5 . a b c a b c + + + ≤ + +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 F a a b b c c = + + + + + + + + + + +

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) 1. HS tự làm.

2. Lấy điểm 1 M m;2 m 2   +   −   ( ) C ∈ . Tiếp tuyến (d) tại M có PT ( )

( ) 2 1 1 y x m 2 m 2 m 2 = − − + + − − .

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là 2 A 2;2 m 2   +   −  , với tiệm cận ngang là B(2m – 2 ; 2).

Ta có : ( ) ( )

2 2 2 1 AB 4 m 2 8 m 2

  = − + ≥   −     . Dấu “=” xảy ra khi m = 2. Vậy điểm M(2; 2).

Câu 2 (1 điểm) PT ( ) 2 3 sin .sin 0. sin cosx x cosx x cosx x   ⇔ + + − =    

- Xét 2 3 3 0 tan x tan x cosx sin x 2 − + = ⇔ = = α ⇔ = α + π k , . k ∈ℤ

ThuVienDeThi.com

- Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t 2; 2   ∈−   . Khi đó phương

trình trở thành:

2 2 t 1 t 0 t 2t 1 0 t 1 2 2

− − = ⇔ − −= ⇔ = −

Suy ra : 1 2 2cos x 1 2 cos x cos 4 4 2 π π −     − = − ⇔ − = = β        

x 2 4 π ⇔ = ±β + π k , . k ∈ℤ

Câu 3 (1 điểm) Tích phân

1 1 1 2

2 1 1 1

dx 1 1 1 x I 1 dx dx. 2 x 2x 1 x 1 x − − −

+   = = + −     + + + ∫ ∫ ∫ Trong đó

1 1 1 1 1

1 1 1 I 1 dx ln x x | 1 2 x 2 − −

  = + =  +  =       ∫ và

1 2

2 1

1 x I dx 2x −

+ = ∫ . Đặt 2 2 2 t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx = + ⇒ = + ⇒ = . Đổi

cận : x 1 t 2

x 1 t 2

 = =  ⇒  = − =   . Vậy I2= ( )

2 2

2 2

t dt 0 2 t 1

= − ∫ . Nên I = 1.

Câu 4 (1 điểm) 1. Chọn khai triển : ( ) 5 0 1 2 2 5 5 5 5 5 5 x 1 C C x C x C x + = + + + + ⋯ ; ( ) 7 0 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 x 1 C C x C x C x C C x C x C x + = + + + + = + + + + + ⋯ ⋯ ⋯ Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 C C C C C C C C C C C C + + + + + . Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : 5 12 C . Từ đó ta có : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 C C C C C C C C C C C C + + + + + = 5 12 C = 792.

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 2 z = và 1 1 . . z i z − = +

Giả sử , z a ib = + với , . a b∈ℝ Ta có ( )

2 2 2 2 1 1 1 1 .

z a b a b z i a b z i z

 =  + =   ⇔ ⇔ = = ± ⇔ = ± +  =  − = +    .

Vậy phần thực và phần ảo của z cùng bằng 1 hoặc cùng bằng 1. − Câu 5 (1 điểm) Chứng minh được M là trực tâm ABC ∆ khi và chỉ khi ( ) OM ABC ⊥ . Vậy mặt

phẳng ( ) α đi qua (1;1; 2), M − có VTPT (1;1; 2) n OM = = − , nên ( ) α có PT 2 6 0. x y z + − − =

Câu 6 (1 điểm) Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC). Ta có SCA ϕ = ; BC = AC = a.cosϕ ;

SA = a.sinϕ . Vậy ( ) 3 2 3 2 SABC ABC 1 1 1 1 V .S .SA …