Tổng hợp kiến thức Bất đẳng thức

1

BẤT ĐẲNG THỨC

§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I. BẤT ĐẲNG THỨC: 1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số. Ta có:

* A > B A-B > 0; A < B A - B < 0 * A B A-B 0; A B A B 0         

2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

A>B a) TÝnh chÊt 1: A C B>C

b) TÝnh chÊt 2: A>B A C>B C

A.C>B.C, nÕu C>0 c) TÝnh chÊt 3: A>B A.C<B.C, nÕu C<0

A>B d) TÝnh chÊt 4: A C B D C>D

A>B>0 e) TÝnh chÊt 5: A.C B.D C>D>0

f) TÝnh chÊt 6:

    

  

             

* n n

n n

* 2n 1 2n 1

* 2n+1 2n 1

A>B>0, n N A B

A>B>0, n N, n 2 A B g) TÝnh chÊt 7:

A>B, n N A B

 



  

   

  

  

II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :

2 Với hai số không âm a và b, ta có:

a+b a+b ab hay a+b 2 ab, ab 2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

                

 Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :

2 2 2 2(a +b ) (a+b) 4ab, víi a, b R. 1 1 4 , víi a, b>0. a b a b a b 2, víi a, b>0. b a

   

  

 

* Hệ quả 1 :

* Hệ quả 2 :

* Hệ quả 3 :

ThuVienDeThi.com

2

2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm :

1 2 n

1 2 n n

1 2 n

1 2 n

Với n số không âm a , a , ..., a (n 2), ta có :

a a ... a a a ...a n Đẳng thức xảy ra a a ... a



   

   

III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI 1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số:

1 2 1 2

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

Với hai cặp số thực (a , a ), (b , b ) bất kì, ta đều có:

(a b +a b ) (a a )(b b )

b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a a

NÕu a 0 (hoÆc a =0) th× b 0 (hoÆc b 0)

  



   * : Quy ước 2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:

1 2 n 1 2 n

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

1 2 n

1 2 n

i

Víi hai bé sè thùc (a , a , ..., a ), (b , b , ..., b ) bÊt k×, ta cã :

(a b +a b +...+a b ) (a a ... a )(b b ... b )

b b b Đẳng thức xảy ra ... . a a a

Nếu một a nào đó bằng 0

      

   

* : Quy ước i thì b 0 (i=1,n). 

IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

Với mọi số thực a và b, ta có:

1) a+b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0.

2) a-b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0.

  

  

V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC:

1) Bất đẳng thức cơ bản: b-c a b c, c-a b c a và a-b c a b,

p-a>0, p-b>0 và p-c>0.

2) Các bất đẳng thức khác: 2S ab; 2S bc và 2S ca.

        

   A 2 2 2 0 b c a nÕu A 90 .   

VI. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c

a b c

b c a c a b a b c m ; m ; m 2 4 2 4 2 4 2 bc 2 ca 2 ab l p(p a); l p(p b); l p(p c) b c c a a b

        

        

ThuVienDeThi.com

3

§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp

Để chứng minh A ≥ B, ta sẽ chứng minh A-B ≥ 0 (nghĩa là ta sử dụng định nghĩa, tính chất cơ bản,... để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh). Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2)

(ĐHQG TP. HCM -1998) Lời giải.

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

a) (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca

(a b) (b c) (c a) 0 luôn luôn đúng.

b) (2) a b b c c a a bc ab c abc 0

2a b 2b c 2c a 2a bc 2ab c 2abc 0

(ab-bc) (bc ca) (ca ab) 0

     

      

      

      

      luôn luôn đúng. Ví dụ 2: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1) với mọi a, b, c, d, e.

(ĐH Y dược TP. HCM-1999) Lời giải.

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a a a a (1) ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4

a a a a b c d e 0 hiển nhiên đúng. 2 2 2 2

            

                                

1 1 1 Cho ba số thực a, b, c …